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QUESTIONS

quelconque, $\mathrm {DC}$ son demi-conjugué, $\mathrm {AM}$ et $\mathrm {BN}$ des tangentes aux extrémités de ce premier diamètre, $\mathrm {M,N}$ les points où elles sont coupées par une troisième tangente variable quelconque $\mathrm {MN} .$ Il s’agit d’établir que $\mathrm {AM\times BN}$ est une quantité constante.

Pour cela, soit menée $\mathrm {PQ} ,$ tangente parallèle à $\mathrm {AB}$ (fig. 4) et asymptote (fig. 5), coupant en $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ les prolongemens de $\mathrm {MA,WB} .$

Par une propriété connue du quadrilatère circonscrit aux sections coniques^[1], les directions des diagonales $\mathrm {PN}$ et $\mathrm {QM}$ du quadrilatère $\mathrm {MNQP}$ doivent concourir en quelque point $\mathrm {S}$ de la direction du diamètre $\mathrm {AB}$ qui joint les deux points de contact opposés ; d’après quoi les parallèles $\mathrm {MP}$ et $\mathrm {NQ}$ donneront

$\mathrm {SB:SA::BQ:AM} ,$

$\mathrm {SA:SB::AP:BN} \,;$

donc

$\mathrm {AM\times BN=AP\times BQ} ,$

mais on a

$\mathrm {AP=BQ=CD} \,;$

donc

$\mathrm {AM\times BN={\overline {CD}}^{2}} .$

1. Voyez, entre autres, la page 167 du troisième volume de ce recueil.