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DESCRIPTION
considérations tout à fait élémentaires, en cherchant à résoudre le problème suivant.
PROBLÈME. Étant donnés les élémens qui déterminent une section conique, lui mener une tangente parallèle à une droite donnée ?
Solution commune à l’ellipse et à l’hyperbole. Soient
le centre,
et
les sommets, et
les foyers d’une ellipse (fig. 1) ou d’une hyperbole (fig. 2). De l’un quelconque
des foyers
soit menée une perpendiculaire
à la droite à laquelle on veut que la tangente cherchée soit parallèle ; de l’autre foyer
pris pour centre, et avec un rayon égal au premier axe
soit décrit un arc coupant
en
et soit menée
enfin soit menée à
par son milieu
une perpendiculaire
rencontrant
en
cette droite
sera la tangente cherchée, et le point
sera celui où elle touche la courbe.
Pour le démontrer, soit menée
on aura, par construction,
on aura donc
(fig. 1) et
(fig. 2)
(fig. 1) et
(fig.2)
ce qui prouve déjà que le point
appartient à la courbe. En second lieu, la droite
faisant des angles égaux avec les droites
et
est tangente au point
Enfin,
étant perpendiculaire à
qui est elle-même perpendiculaire à la droite donnée, sera conséquemment parallèle à cette droite.
Solution pour la parabole. Soient
(fig. 3) la direction de l’axe,
le foyer et
la directrice de la courbe. Par le foyer
soit menée à la droite donnée à laquelle on demande que la tangente soit parallèle une perpendiculaire
coupant la directrice en
soit menée à cette droite
par son milieu
une perpendiculaire
coupant en
la parallèle
menée à l’axe par le point
alors
sera la tangente cherchée, et le point
sera celui où elle sera touchée par la courbe.
Si en effet on mène
on aura, par construction,
ce qui prouve déjà que le point
appartient à la courbe. En second