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QUESTIONS

$4.{\frac {4a^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)-\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}}{\left\{\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}-4a^{2}z^{2}\right\}^{2}}}$

$-16z^{2}.{\tfrac {\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)\left\{\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}-4a^{2}z^{2}\right\}-2\left\{\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)-2a^{2}\right\}\left\{4a^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right)-\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}\right\}}{\left\{\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}-4a^{2}z^{2}\right\}^{3}}}$

En posant $z=0,$ la seconde fraction s’évanouit et la première devient

$4.{\frac {4a^{2}-\left(a^{2}+c^{2}\right)}{\left(a^{2}+c^{2}\right)^{3}}}\,;$

quantité négative ou positive, suivant que $2a$ sera moindre ou plus grand que ${\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\,;$ ainsi, la valeur $z=0,$ répondra à un maximum, si la valeur

$z={\sqrt {\left(2a-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}.$

est imaginaire ; et cette valeur $z=0$ répondra à un minimun, si, au contraire, l’autre valeur de $z$ est réelle.

Si ensuite on pose

$z={\sqrt {\left(2a-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}},$

ou, ce qui revient au même,

$\left(z^{2}+a^{2}+c^{2}\right)^{2}=4a^{2}\left(a^{2}+c^{2}\right),$

c’est au contraire, la première fraction qui s’évanouit, tandis que la seconde devient

$-{\frac {1}{2a^{3}}}.{\frac {\left(2a-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\right)}{\left\{{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}-a\right\}^{2}}}\,;$

quantité négative ou positive, suivant que $2a$ sera plus grand ou plus petit que ${\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\,;$ et comme, dans le dernier de ces deux cas, la valeur de $z$ devient imaginaire, il s’ensuit que, lorsque cette valeur

$z={\sqrt {\left(2a-{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}\right){\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}},$

est possible, elle répond toujours à un maximum.