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FONCTIONS

$A+B\left(\operatorname {Log} .x+\operatorname {Log} .y\right)+C\left(\operatorname {Log} .^{2}x+\operatorname {Log} .x\operatorname {Log} .y+\operatorname {Log} .^{2}y\right)+\ldots$

$=y\left\{A+B\left(\operatorname {Log} .x-\operatorname {Log} .y\right)+C\left(\operatorname {Log} .x-\operatorname {Log} .y\right)^{2}+\ldots \right\}$

Dans cette dernière équation, $x$ et $y$ devant demeurer indéterminés et indépendans, on peut supposer $y=x$ ; elle devient ainsi

$A+2B\operatorname {Log} .x+3C\operatorname {Log} .^{2}x+4D\operatorname {Log} .^{3}x+\ldots =Ax\,;$

ou, en mettant pour $x$ sa valeur (6) et réduisant,

$2B\operatorname {Log} .x+3C\operatorname {Log} .^{2}x+4D\operatorname {Log} .^{3}x+\ldots$

$=A^{2}\operatorname {Log} .x+AB\operatorname {Log} .^{2}x+AC\operatorname {Log} .^{3}x+\ldots \,;$

ce qui donnera, à cause de l’indétermination de $x$,

$\left.{\begin{array}{lll}&2B&=A^{2},\\&3C&=AB,\\&4D&=AC,\\&\ldots &\,;\\\end{array}}\right\}{\text{ d’où }}\left\{{\begin{aligned}B&={\tfrac {A^{2}}{1.2}},\\C&={\tfrac {A^{3}}{1.2.3}},\\D&={\tfrac {A^{4}}{1.2.3.4}},\\&\ldots \,;\\\end{aligned}}\right.$

substituant donc dans (6), il viendra

$x=1+{\frac {A\operatorname {Log} .x}{1}}+{\frac {A^{2}\operatorname {Log} .^{2}x}{1.2}}+{\frac {A^{3}\operatorname {Log} .^{3}x}{1.2.3}}+\ldots \qquad$(9)

formule dans laquelle $A$ demeure arbitraire, pour les même raisons que ci-dessus.

III. On se tromperait étrangement si l’on pensait que l’indéterminée $A$ est la même dans la formule (9) que dans la formule (4) ; puisque ces deux formules ont été déterminées indépendamment l’une de l’autre. Il existe néanmoins entre ces deux indéterminées une relation simple facile à découvrir. Observons pour cela qu’on tire des équations (5) et (9), en changeant $A$ en $A'$ dans la première,

${\begin{aligned}\operatorname {Log} .x&=A'(x-1)\left\{1-{\tfrac {1}{2}}(x-1)+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{2}-\ldots \right\},\\x-1&=A\operatorname {Log} .x\left\{1+{\frac {A\operatorname {Log} .x}{1.2}}+{\frac {A^{2}\operatorname {Log} .^{2}x}{1.2.3}}+\ldots \right\}\,;\\\end{aligned}}$