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FONCTIONS
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+x)-\operatorname {Log} .(1+y)=\operatorname {Log} .{\frac {1+x}{1+y}}=\operatorname {Log} .\left\{1+\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)\right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f94e7dd8b9341136e12aaf517a99a3f76a5898c)
substituant donc les valeurs (1), (2), (3), il viendra, en divisant les deux membres de inéquation résultante par
et en les multipliant par ![{\displaystyle 1+y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d8f0695d8689c99e7d26f1ac534b86ea1d4964a)
![{\displaystyle (1+y)\left\{A+B(x+y)+C\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+D\left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)+\ldots \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c43bf7942e3d3e4c10611618e000f4f94683918)
![{\displaystyle =A+B\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)+C\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)^{2}+D\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237a35e22daf7b09c149274ca4bc52b5b61d3002)
Dans cette dernière équation,
et
demeurant indéterminés et indépendans, on peut supposer
elle devient ainsi
![{\displaystyle (1+x)\left(A+2Bx+3Cx^{2}+4Dx^{3}+\ldots \right)=A\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c33c6ebac3783781ea4daaaaa77fe49b9f53a93)
ou, en développant et réduisant,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}2B&\\+A&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x+3C&\\+2B&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{2}+4D&\\+3C&\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}x^{3}+\ldots =0.\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7e12fc8575172b05511457bfebd90d3ef6244b3)
Ce qui donnera, à cause de l’indétermination de ![{\displaystyle x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/feff4d40084c7351bf57b11ba2427f6331f5bdbe)
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}&2B+A&=0,\\&3C+2B&=0,\\&4D+3C&=0,\\&\ldots &=0\,;\\\end{array}}\right\}{\text{ d’où }}\left\{{\begin{aligned}B&=-{\tfrac {1}{2}}A,\\C&=+{\tfrac {1}{3}}A,\\D&=-{\tfrac {1}{4}}A,\\&\ldots \,;\\\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79122cd9b837ca7389694d12b2b3e8c038ae0902)
substituant donc dans (1), il viendra
![{\displaystyle \operatorname {Log} .(1+x)=A\left(x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}+\ldots \right)\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c7eaa178c0224520b64522230191d7d65709f9)
(4)
Dans cette formule,
demeure arbitraire ; mais cela doit être ainsi, puisqu’à raison du choix arbitraire de la base, à un même nombre peut répondre une infinité de logarithmes différens.
Si, dans cette formule (4), on change
en
, elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Log} .x=A\left\{(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\ldots \right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b17f0c0007e0b7b0c000f4335be8bc8fe6c10b4)
(5)
Soit
la base du système logarithmique, et soit successivement