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FONCTIONS

$\operatorname {Log} .(1+x)-\operatorname {Log} .(1+y)=\operatorname {Log} .{\frac {1+x}{1+y}}=\operatorname {Log} .\left\{1+\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)\right\}\,;$

substituant donc les valeurs (1), (2), (3), il viendra, en divisant les deux membres de inéquation résultante par $x-y,$ et en les multipliant par $1+y,$

$(1+y)\left\{A+B(x+y)+C\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)+D\left(x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}\right)+\ldots \right\}$

$=A+B\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)+C\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)^{2}+D\left({\frac {x-y}{1+y}}\right)^{3}+\ldots$

Dans cette dernière équation, $x$ et $y$ demeurant indéterminés et indépendans, on peut supposer $y=x\,;$ elle devient ainsi

$(1+x)\left(A+2Bx+3Cx^{2}+4Dx^{3}+\ldots \right)=A\,;$

ou, en développant et réduisant,

$\left.{\begin{aligned}2B&\\+A&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x+3C&\\+2B&\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}x^{2}+4D&\\+3C&\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}x^{3}+\ldots =0.\\\\\end{aligned}}$

Ce qui donnera, à cause de l’indétermination de $x,$

$\left.{\begin{array}{lll}&2B+A&=0,\\&3C+2B&=0,\\&4D+3C&=0,\\&\ldots &=0\,;\\\end{array}}\right\}{\text{ d’où }}\left\{{\begin{aligned}B&=-{\tfrac {1}{2}}A,\\C&=+{\tfrac {1}{3}}A,\\D&=-{\tfrac {1}{4}}A,\\&\ldots \,;\\\end{aligned}}\right.$

substituant donc dans (1), il viendra

$\operatorname {Log} .(1+x)=A\left(x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}+\ldots \right)\qquad$(4)

Dans cette formule, $A$ demeure arbitraire ; mais cela doit être ainsi, puisqu’à raison du choix arbitraire de la base, à un même nombre peut répondre une infinité de logarithmes différens.

Si, dans cette formule (4), on change $x$ en $x-1$, elle deviendra

$\operatorname {Log} .x=A\left\{(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\ldots \right\}.$(5)

Soit $b$ la base du système logarithmique, et soit successivement