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FONCTIONS LOGARITHMIQUES.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Développement en séries des fonctions logarithmiques
et exponentielles ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

J’ai donné, dans le troisième volume de ce recueil (page 344), une méthode de développement des fonctions circulaires en séries qui me semble fort courte et fort simple. Je me propose ici de parvenir, par des moyens analogues, au développement des fonctions logarithmiques et exponentielles ; de manière que les deux articles pourront se servir de suite l’un à l’autre.

I. Le logarithme de l’unité étant nul, dans tout système logarithmique, on est fondé à supposer, quel que soit $x,$

$\operatorname {Log} .(1+x)=Ax+Bx^{2}+Cx^{3}+Dx^{4}+\ldots \,;\qquad$(1)

$A,B,C,\ldots$ étant des coefficiens inconnus qu’il s’agit de déterminer.

On aura semblablement

$\operatorname {Log} .(1+y)=Ay+By^{2}+Cy^{3}+Dy^{4}+\ldots \,;\qquad$(2)

et

$\operatorname {Log} .\left\{1+\left({\tfrac {x-y}{1+y}}\right)\right\}=A\left({\tfrac {x-y}{1+y}}\right)+B\left({\tfrac {x-y}{1+y}}\right)^{2}+C\left({\tfrac {x-y}{1+y}}\right)^{3}+\ldots$(3)

Mais on a