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RÉSOLUES.

${\begin{aligned}\lambda a=&AX'+A',\\\lambda b=&BY'+B',\\\lambda c=&CZ'+C'.\\\end{aligned}}\qquad \lambda (ax+by+cz)+A'X'+B'Y'+C'Z'=0.$

En éliminant $X',Y',Z',\lambda$ entre ces quatre équations et l’équation (11), et posant, pour abréger,

$BCA'^{2}+CAB'^{2}+ABC'^{2}=K,$

${\begin{aligned}Ax+A'=D,&\qquad BCD^{2}-K=D',\\By+B'=E,&\qquad CAE^{2}-K=E',\\Cz+C'=F,&\qquad ABF^{2}-K=F'\,;\\\end{aligned}}$

on obtient aisément

$BCD'a^{2}+CAE'b^{2}+ABF'c^{2}$

$+2ABC(AEFbc+BFDca+CDEab)=0.$

Afin donc que les trois faces de l’angle trlèdre soient tangentes à la surface courbe, on devra avoir

$BCD'a^{2}+CAE'b^{2}+ABF'c^{2}$

$+2ABC(AEFbc+BFDca+CDEab)=0,$

$BCD'a'^{2}+CAE'b'^{2}+ABF'c'^{2}$

$+2ABC(AEFb'c'+BFDc'a'+CDEa'b')=0,$

$BCD'a''^{2}+CAE'b''^{2}+ABF'c''^{2}$

$+2ABC(AEFb''c''+BFDc''a''+CDEa''b'')=0.$

En prenant la somme de ces trois équations, et ayant égard aux relations (4) et (5), il vient

$BCD'+CAE'+ABF'=0,$

c’est-à-dire,

$B^{2}C^{2}D^{2}+C^{2}A^{2}E^{2}+A^{2}B^{2}F^{2}-K(BC+CA+AB)=0.$

ou encore

$\left.{\begin{aligned}B^{2}C^{2}&(Ax+A')^{2}+C^{2}A^{2}(By+B')^{2}+A^{2}B^{2}(Cz+C')^{2}\\&-(BC+CA+AB)\left(BCA'^{2}+CAB'^{2}+ABC'^{2}\right)\\\end{aligned}}\right\}=0,$

ou enfin, en développant, ordonnant et réduisant,