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POLYGONES

Dans tout ce qui va suivre $\mathrm {H_{1},H_{2},H_{3},\ldots }$ seront les pieds des perpendiculaires abaissées du point $\mathrm {P}$ sur les directions des côtés $\mathrm {S_{1}S_{2},S_{2}S_{3},S_{3}S_{4}\ldots }$ respectivement ; $\mathrm {T_{1},T_{2},T_{3},\ldots }$ seront les points de contact des mêmes côtés avec le cercle inscrit.

THÉORÈME VII. Le point $\mathrm {P}$ étant quelconque, et le nombre des côtés du polygone étant $m>n$ ; on a

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} ={\frac {m}{\varpi }}\int (r'-a\operatorname {Cos} .\beta )^{n}.\operatorname {d} \beta \,;$

l’intégrale étant prise entre $\beta =0$ et $\beta =\varpi .$

Corollaire I. $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ étant deux points quelconques d’une circonférence concentrique à un polygone régulier, dont le nombre des côtés est $m>n\,;$ on a

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} =\mathrm {{\overline {P'H}}_{1}^{n}+{\overline {P'H}}_{2}^{n}+{\overline {P'H}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {P'H}}_{m}^{n}} .$

Corollaire II. Le point $\mathrm {P}$ étant toujours quelconque, et $m,m'$ étant les nombres de côtés de deux polygones réguliers circonscrits au même cercle ; on aura

${\frac {\mathrm {{\overline {PH}}_{1}^{n}+{\overline {PH}}_{2}^{n}+{\overline {PH}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}^{n}} }{\mathrm {{\overline {PH'}}_{1}^{n}+{\overline {PH'}}_{2}^{n}+{\overline {PH'}}_{3}^{n}+\ldots +{\overline {PH'}}_{m'}^{n}} }}={\frac {m}{m'}}.$

Corollaire III. Quel que soit le point $\mathrm {P}$ et le nombre $m$ des côtés d’un polygone régulier ; on a

$\mathrm {{\overline {PH}}_{1}+{\overline {PH}}_{2}+{\overline {PH}}_{3}+\ldots +{\overline {PH}}_{m}} =mr'.$

Corollaire IV. $\mathrm {P}$ étant quelconque sur la circonférence du cercle