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RÉGULIERS.

$\mathrm {CS_{1}} \,;$ suivant que ce point sera extérieur ou intérieur au polygone, supposé de $2m$ côtés, on aura

$\mathrm {PS_{1}.PS_{3}.PS_{5}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}=\pm \left\{{\overline {\mathrm {CP} }}^{m}-{\overline {\mathrm {CS} }}_{1}^{m}\right\}.$

On aura aussi, quel que soit $\mathrm {P}$ sur $\mathrm {CS_{1}} ,$

$\mathrm {PS_{2}.PS_{4}.PS_{6}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}={\overline {\mathrm {CP} }}^{m}+{\overline {\mathrm {CS} }}_{1}^{m}.$

Corollaire III. $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ étant quelconques sur la direction de $\mathrm {CS} ,$ et $2m$ étant toujours le nombre des côtés du polygone ; on aura

$\mathrm {PS_{2}.PS_{4}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}\pm \mathrm {PS_{1}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}$

$=\mathrm {P'S_{2}.P'S_{4}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m}\pm \mathrm {P'S_{1}.P'S_{3}} \ldots \mathrm {P'S} _{2m-1},$

les signes supérieurs devant être pris dans les deux membres, si $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P} '$ sont intérieurs au polygone ; les signes inférieurs, s’ils lui sont tous deux extérieurs ; enfin le signe inférieur du premier membre devant être pris avec le signe supérieur du second, si $\mathrm {P}$ est extérieur et $\mathrm {P} '$ intérieur.

Corollaire IV. Deux polygones réguliers de $2m$ côtés étant concentriques, et ayant leurs côtés respectivement parallèles ; et $\mathrm {P}$ étant quelconque sur la direction $\mathrm {CS'_{1}S_{1}} \,;$ on aura

$\mathrm {PS_{2}.PS_{4}} \ldots \mathrm {PS} _{2m}\pm \mathrm {PS_{1}.PS_{3}} \ldots \mathrm {PS} _{2m-1}$

$=\mathrm {PS'_{2}.PS'_{4}} \ldots \mathrm {PS'} _{2m}\pm \mathrm {PS'_{1}.PS'_{3}} \ldots \mathrm {PS'} _{2m-1}\,;$

Les signes supérieurs devant être pris, dans les deux membres, si le point $\mathrm {P}$ est extérieur aux deux polygones ; les inférieurs, s’il est intérieur à tous deux ; enfin, le signe supérieur du premier membre devant être pris avec l’inférieur du second si le point $\mathrm {P}$ est situé entre les deux polygones.