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POLYGONES

son centre ; $r,r'$ seront respectivement les rayons des cercles circonscrit et inscrit ; $\mathrm {P}$ sera un point placé à une distance $a$ du centre, et dont nous indiquerons la situation dans chaque cas ; $m$ et $n$ seront des nombres abstraits, entiers et positifs ; et $\varpi$ sera la demi-circonférence du cercle dont le rayon $=1.$ Nous ferons connaître las autres notations à mesure qu’elles nous seront nécessaires.

THÉORÈME I. Dans tout polygone régulier de $m$ côtés, où le point $\mathrm {P}$ est quelconque ; $n$ étant $<m$ ; on a

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} ={\frac {m}{\varpi }}\int \left(a^{2}-2ar\operatorname {Cos} .\beta +r^{2}\right)^{n}.\operatorname {d} \beta \,;$

l’intégrale étant prise, dans le second membre, depuis $\beta =0$ jusqu’à $\beta =\varpi .$

Corollaire I. $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P'}$ étant deux quelconques des points de la circonférence d’un cercle concentrique à notre polygone, et $n$ étant toujours $<m$ ; on a

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} =\mathrm {{\overline {P'S}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S}}_{2}^{2n}+\ldots +{\overline {P'S}}_{m}^{2n}} .$

Corollaire II. Deux polygones réguliers $\mathrm {S_{1}S_{2}S_{3}} \ldots \mathrm {S_{m}S'_{1}S'_{2}S'_{3}} \ldots \mathrm {S'_{m}}$ étant inscrits au même cercle ; si l’on a $n<m$ et $n'<m\,;$ on aura, $\mathrm {P}$ étant quelconque

${\frac {\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} }{\mathrm {{\overline {P'S}}_{1}^{2n}+{\overline {P'S}}_{2}^{2n}++{\overline {P'S}}_{3}^{2n}\ldots +{\overline {P'S}}_{m}^{2n}} }}={\frac {n}{n'}}.$

Corollaire III. $\mathrm {P}$ étant toujours quelconque ; soit mené au cercle circonscrit le rayon $\mathrm {CD} ,$ perpendiculaire à $\mathrm {CP} ,$ et soient joints $\mathrm {PD} \,;$ on aura

$\mathrm {{\overline {PS}}_{1}^{2n}+{\overline {PS}}_{2}^{2n}+{\overline {PS}}_{3}^{2n}+\ldots +{\overline {PS}}_{m}^{2n}} =m.{\overline {\mathrm {PD} }}^{2}.$

Corollaire IV. $\mathrm {P}$ étant un quelconque des points de la circonférence du cercle circonscrit au polygone, et $n$ étant toujours $<m\,;$ on a