31
DIAMÈTRES CONJUGUÉS DE L’ELLIPSOÏDE.
renferment, données par les équations (3), et chassant les dénominateurs, il viendra
![{\displaystyle \left\{{\begin{array}{cccc}x^{2}&+x'^{2}&+x''^{2}&=a^{2},\\y^{2}&+y'^{2}&+y''^{2}&=b^{2},\\z^{2}&+z'^{2}&+z''^{2}&=c^{2},\\\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8301db7ca1da4db0c87b587a2b1259d8da335b0)
(9)
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{cccc}(yz'-zy')^{2}&+(y'z''-z'y'')^{2}&+(y''z-z''y)^{2}&=b^{2}c^{2},\\(zx'-xz')^{2}&+(z'x''-x'z'')^{2}&+(z''x-x''z)^{2}&=c^{2}a^{2},\\(xy'-yx')^{2}&+(y'x''-x'y'')^{2}&+(x''y-y''x)^{2}&=a^{2}b^{2};\\\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/067931c2cb2ea27181f94a4fd0db840965686c46)
(10)
![{\displaystyle xy'z''-xz'y''+zx'y''-yx'z''+yz'x''-zy'x''=abc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/167eaab212829e0ccdf46bfb5bd76a1cc6c10d6d)
(11)
Si maintenant on désigne par
les trois demi-diamètres conjugués dont il s’agit, et par
les angles qu’ils forment deux à deux respectivement ; il est aisé de voir qu’on aura
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{cccc}x^{2}&+y^{2}&+z^{2}&=a'^{2},\\x'^{2}&+y'^{2}&+z'^{2}&=b'^{2},\\x''^{2}&+y''^{2}&+z''^{2}&=c'^{2};\\\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b429ef716f13eec1583c34f343984ec765fcc117)
(12)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(yz'-zy')^{2}+(zx'-xz')^{2}+(xy'-yx')^{2}=a'^{2}b'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma ,\\&(y'z''-z'y'')^{2}+(z'x''-x'z'')^{2}+(x'y''-y'x'')^{2}=b'^{2}c'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha ,\\&(y''z-z''y)^{2}+(z''x-x''z)^{2}+(x''y-y''x)^{2}=c'^{2}a'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta ;\\\end{aligned}}\right\}(13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126105b1227da011cb05c753868e38a616027169)
![{\displaystyle xy'z''-xz'y''+zx'y''-yx'z''+yz'x''-zy'x''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111bbfe4d6f5dc129d6921c62f53e735dbf6a9c4)
![{\displaystyle =abc{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98addc80a347af5b7ef149d55a54e3948365381)
(14)
Comparant alors la somme des équations (12) à la somme des équations (9), puis la somme des équations (13) à celle des équations (10) et enfin l’équation (14) à l’équation (11), il viendra