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DIAMÈTRES CONJUGUÉS DE L’ELLIPSOÏDE.

renferment, données par les équations (3), et chassant les dénominateurs, il viendra

$\left\{{\begin{array}{cccc}x^{2}&+x'^{2}&+x''^{2}&=a^{2},\\y^{2}&+y'^{2}&+y''^{2}&=b^{2},\\z^{2}&+z'^{2}&+z''^{2}&=c^{2},\\\end{array}}\right\}$ (9)

$\left.{\begin{array}{cccc}(yz'-zy')^{2}&+(y'z''-z'y'')^{2}&+(y''z-z''y)^{2}&=b^{2}c^{2},\\(zx'-xz')^{2}&+(z'x''-x'z'')^{2}&+(z''x-x''z)^{2}&=c^{2}a^{2},\\(xy'-yx')^{2}&+(y'x''-x'y'')^{2}&+(x''y-y''x)^{2}&=a^{2}b^{2};\\\end{array}}\right\}$ (10)

$xy'z''-xz'y''+zx'y''-yx'z''+yz'x''-zy'x''=abc.$ (11)

Si maintenant on désigne par $a',b',c'$ les trois demi-diamètres conjugués dont il s’agit, et par $\alpha ,\beta ,\gamma$ les angles qu’ils forment deux à deux respectivement ; il est aisé de voir qu’on aura

$\left.{\begin{array}{cccc}x^{2}&+y^{2}&+z^{2}&=a'^{2},\\x'^{2}&+y'^{2}&+z'^{2}&=b'^{2},\\x''^{2}&+y''^{2}&+z''^{2}&=c'^{2};\\\end{array}}\right\}$(12)

$\left.{\begin{aligned}&(yz'-zy')^{2}+(zx'-xz')^{2}+(xy'-yx')^{2}=a'^{2}b'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\gamma ,\\&(y'z''-z'y'')^{2}+(z'x''-x'z'')^{2}+(x'y''-y'x'')^{2}=b'^{2}c'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\alpha ,\\&(y''z-z''y)^{2}+(z''x-x''z)^{2}+(x''y-y''x)^{2}=c'^{2}a'^{2}\operatorname {Sin} .^{2}\beta ;\\\end{aligned}}\right\}(13)$

$xy'z''-xz'y''+zx'y''-yx'z''+yz'x''-zy'x''$

$=abc{\sqrt {1-\operatorname {Cos} .^{2}\alpha -\operatorname {Cos} .^{2}\beta -\operatorname {Cos} .^{2}\gamma +2\operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Cos} .\gamma }}.$ (14)

Comparant alors la somme des équations (12) à la somme des équations (9), puis la somme des équations (13) à celle des équations (10) et enfin l’équation (14) à l’équation (11), il viendra