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DIAMÈTRES CONJUGUÉS

$\left.{\begin{array}{llllll}{\frac {x}{a}}&=X,&{\frac {y}{b}}&=Y,&{\frac {z}{c}}&=Z,\\{\frac {x'}{a}}&=X',&{\frac {y'}{b}}&=Y',&{\frac {z'}{c}}&=Z',\\{\frac {x''}{a}}&=X'',&{\frac {y''}{b}}&=Y'',&{\frac {z''}{c}}&=Z'',\\\end{array}}\right\}$ (3)

ces équations deviendront

$\left.{\begin{array}{cccc}X^{2}&+Y^{2}&+Z^{2}&=1,\\X'^{2}&+Y'^{2}&+Z'^{2}&=1,\\X''^{2}&+Y''^{2}&+Z''^{2}&=1;\\\end{array}}\right\}$(4) $\left.{\begin{array}{cccc}x'x''&+y'y''&+z'z''&=0,\\x''x&+y''y&+z''z&=0,\\xx'&+yy'&+zz'&=0.\\\end{array}}\right\}$ (5)

Or, il est connu, par la théorie de la transformation des coordonnées dans l’espace^[1], que, lorsqu’on a de telles relations entre des quantités, on a aussi entre elles les relations suivantes

$\left.{\begin{array}{cccc}X^{2}&+X'^{2}&+X''^{2}&=1,\\Y^{2}&+Y'^{2}&+Y''^{2}&=1,\\Z^{2}&+Z'^{2}&+Z''^{2}&=1,\\\end{array}}\right\}$ (6)

$\left.{\begin{array}{cccc}(YZ'-ZY')^{2}&+(Y'Z''-Z'Y'')^{2}&+(Y''Z-Z''Y)^{2}&=1,\\(ZX'-XZ')^{2}&+(Z'X''-X'Z'')^{2}&+(Z''X-X''Z)^{2}&=1,\\(XY'-YX')^{2}&+(Y'X''-X'Y'')^{2}&+(X''Y-Y''X)^{2}&=1;\\\end{array}}\right\}$ (7)

$XY'Z''-XZ'Y''+ZX'Y''-YX'Z''+YZ'X''-ZY'X''=1.$ (8)

En remettant, dans ces relations, les valeurs des symboles qu’elles

1. Voyez entre autres le tome 1.^er du Traité de calcul différentiel et de calcul intégral de M. Lacroix ; page 450 de la 1.^re édition, et page 528 de la 2.^e