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RÉSOLUES.

$2^{20}t-5^{20}.u=1$

est

$t=7385006028926,$

$u=81199\,;$

que par conséquent, pour l’équation

$5^{20}t-2^{20}.u=1,$

ce plus petit système de valeurs est

$t=2^{20}-81199,$

$u=5^{20}-7385006028926.$

On aura donc

$x=2^{20}.7385006028926,$

$x=5^{20}.\left(2^{20}-81199\right)=10^{20}-5^{20}.81199.$

On trouvera ainsi que tous les nombres et les seuls nombres dont un certain nombre des derniers chiffres à droite seront les mêmes dans l’un quelconque des quatre nombres

${\begin{array}{rrrrr}.....&00000&00000&00000&00000,\\.....&00000&00000&00000&00001,\\.....&07743&74008&19871&09376,\\.....&92256&25991&82128&90625,\\\end{array}}$

auront aussi les mêmes derniers chiffres à droite, en même nombre, à toutes leurs puissances.

On traiterait d’une manière analogue le cas où l’on exigerait seulement que les terminaisons des puissances successives fussent périodiques^[1].

1. Le Rédacteur a reçu postérieurement de M. Durrande une autre solution du même problème, qui rentre pour le fond dans celles qui viennent d’être mentionnée.