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QUESTIONS

Appliquons ces généralités à notre système de numération ; et cherchons à résoudre le problème, dans ce système, pour les 20 premières valeurs de $n.$ Pour cela nous poserons sur-le-champ $n=20.$ Nous avons d’ailleurs $B=10=2.5,$ d’où $B^{n}=2^{20}.5^{20}\,;$ et nous n’aurons conséquemment que le seul système de valeurs

$p=2^{20},\qquad q=5^{20}\,;$

en sorte qu’il faudra résoudre successivement les deux équations indéterminées

$2^{20}t-5^{20}.u=1,\qquad 5^{20}t-2^{20}.u=1\,;$

ou du moins chercher les plus petits nombres qui y satisfont ; en posant ensuite

$x=2^{20}t,\qquad x=5^{20}.t.$

Or, on a

$2^{20}=1\ 048\ 576,$

$5^{20}=94\ 956\ 806\ 640\ 625.$

Si l’on cherche le plus grand commun diviseur entre ces deux nombres, les quotiens successifs seront

$90949470,\ 5,\ 1,\ 1,\ 1,\ 3,\ 1,\ 1,\ 3,\ 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 10,\ 1,\ 12.$

À l’aide de ces quotiens, sauf le dernier, on trouvera, pour la dernière fraction convergente vers ${\frac {5^{20}}{2^{20}}},$

${\frac {7385006028926}{81199}}.$

On conclura de là, par les théories connues^[1], que le plus petit système de valeurs de $t$ et $u,$ dans l’équation

1. Voyez le 2.^e volume de l’Algèbre d’Euler, ou la Théorie des nombres de M. Legendre.