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QUESTIONS

dont les premiers membres sont entiers, par l’hypothèse, et qui ont pour second membre un nombre entier indéterminé.

Posant donc

$\left.{\begin{aligned}x=&pt,\\x-1=&qu\,;\\\end{aligned}}\right\}\qquad {\text{ou}}\qquad \left\{{\begin{aligned}x=&qt,\\x-1=&pu\,;\\\end{aligned}}\right.$

l’élimination de $x$ donnera

$pt-qu=1\qquad$ou$\qquad qt-pu=1.$

Ayant donc trouvé un système de valeurs de $t$ et $u$ satisfaisant l’une ou à l’autre de ces deux équations, on aura ensuite

$x=pt\qquad$ou$\qquad y=qt,$

et le problème sera résolu.

On voit par là qu’outre les, solutions communes à tous les systèmes de numération déjà mentionnés, le problème admettra encore deux fois autant de solutions qu’il y aura de manières de décomposer $B^{n}$ en deux facteurs premiers entre eux, différens de lui-même et de l’unité.

Soit supposé

$B=a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }\ldots \qquad$d’où$\qquad B^{n}=a^{n\alpha }b^{n\beta }c^{n\gamma }\ldots$

$a,b,c,\ldots$ étant des nombres premiers inégaux, au nombre de $m.$ Il est évident qu’il y aura, autant de manières de décomposer $B^{n}$ en deux facteurs premiers entre eux, dont aucun ne soit l’unité, qu’il y aurait de manières d’exécuter cette décomposition sur le simple produit

$abc\ldots gh,$

aussi de $m$ facteurs. Or, soit $Z_{m-1},$ ce nombre de décompositions pour le produit de $m-1$ facteurs

$abc\ldots g,$

en introduisant le $m.^{me}$ facteur $h$, on pourra introduire indiffé-