Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/331

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
323
RÉSOLUES.

Soit le nombre cherché, et soit généralement la base du système de numération relativement auquel on se propose de résoudre le problème ; en désignant par un nombre entier indéterminé, l’équation de ce problème sera

ou

ne devant pas avoir plus de chiffres.

On satisfait d’abord généralement à cette équation, quel que soit en posant d’où

ou

Ainsi, dans tout système de numération, tout nombre terminé par zéros ou par l’unité précédée de zéros, a toutes ces puissances terminées aussi par zéros ou par l’unité précédée de zéros, respectivement ; ce qui est d’ailleurs évident. Nous ne nous occuperons donc plus à l’avenir de ces deux solutions.

Pour parvenir à la découverte des autres, remarquons d’abord que et à plus forte raison étant moindre que ne sauraient, ni l’un ni l’autre, être divisibles par ce diviseur ; et, comme d’ailleurs ces deux nombres et sont nécessairement premiers entre eux, ils ne sauraient être divisibles, respectivement, que par deux nombres aussi premiers entre eux.

Soit donc supposé

et étant deux facteurs premiers entre eux, différens de et de l’unité. étant le plus petit des nombres de chiffres ; il s’ensuit que et seront l’un et l’autre moindres que et en choisissant donc de manière que l’un des deux soit divisible par et l’autre par on remplira les conditions du problème, puisqu’on aura l’une ou l’autre des équations