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DIAMÈTRES CONJUGUÉS DE L’ELLIPSOÏDE.

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Propriétés des diamètres conjugués de l’ellipsoïde ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soient $a,b,c$ les trois demi-diamètres principaux d’un ellipsoïde, pris pour axe des coordonnées. Soient ensuite $(x,y,z),(x',y',z'),(x'',y'',z'')$ les extrémités de trois autres demi-diamètres quelconques ; on aura

$\left.{\begin{array}{cccc}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}&+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}&+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}&=1,\\{\frac {x'^{2}}{a^{2}}}&+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}&+{\frac {z'^{2}}{c^{2}}}&=1,\\{\frac {x''^{2}}{a^{2}}}&+{\frac {y''^{2}}{b^{2}}}&+{\frac {z''^{2}}{c^{2}}}&=1,\\\end{array}}\right\}\quad (1)$

Si l’on veut, en outre, que les nouveaux demi-diamètreS soient conjugués les uns aux autres, il faudra exprimer de plus que le plan tangent à l’extrémité de chacun est, à la fois, parallèle à chacun des deux autres ; ce qui donnera encore

$\left.{\begin{array}{cccc}{\frac {x'x''}{a^{2}}}&+{\frac {y'y''}{b^{2}}}&+{\frac {z'z''}{c^{2}}}&=0,\\{\frac {x''x}{a^{2}}}&+{\frac {y''y}{b^{2}}}&+{\frac {z''z}{c^{2}}}&=0,\\{\frac {xx'}{a^{2}}}&+{\frac {yy'}{b^{2}}}&+{\frac {zz'}{c^{2}}}&=0.\\\end{array}}\right\}\quad (2)$

En posant, pour abréger,