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QUESTIONS

$e={\frac {\sqrt {(c+a)^{2}-2(c+a)(c+b)\operatorname {Cos} .\mathrm {C} +(c+b)^{2}}}{2\operatorname {Sin} .\mathrm {C} }}\,;$

ou, en substituant,

$e={\frac {(a+b)(b+c)(c+a)}{4{\sqrt {abc(a+b+c)}}}}.$

et tel est le rayon du cercle qui contient les centres.

Si l’on représente de plus par $\alpha$ la perpendiculaire abaissée du même point sur le côté ${\overline {\mathrm {BC} }},$ on aura

$\alpha ={\frac {(a+c)-(b+c)\operatorname {Cos} .\mathrm {C} }{2\operatorname {Sin} .\mathrm {C} }}\,;$

c’est-à-dire, en substituant,

$\alpha =(b+c).{\frac {a^{2}+(b+c)a-bc}{4{\sqrt {abc(a+b+c)}}}}.$

PROBLÈME II. Quatre sphères étant tellement situées dans l’espace que chacune d’elles touche les trois autres ; on propose de démontrer que leurs six points de contact, deux à deux, sont sur une même sphère. On demande, en outre, de déterminer, en fonction des rayons de ces quatre sphères, 1.^o le rayon de la sphère qui contient leurs points de contact deux à deux ; 2.^o le rayon de la sphère qui passe par leurs centres ?

Solution. Soient $\mathrm {A,B,C,D}$ les centres et $a,b,c,d,$ les rayons respectifs des quatre sphères données. Le tétraèdre $\mathrm {ABCD}$ ne pourra être quelconque, puisqu’il se trouve uniquement dépendre de quatre élémens arbitraires et indépendants, lesquels sont les rayons des quatre sphères données. On voit, en effet, que, l’une quelconque de ses arêtes étant nécessairement la somme des rayons de deux de ces sphères, l’arête opposée doit être la somme des rayons des deux autres ; de sorte qu’il y a entre les six arêtes de ce tétraèdre ces trois relations, que la somme de deux arêtes opposées