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RÉSOLUES.

$\operatorname {Sin} .\mathrm {C} ={\frac {2{\sqrt {abc(a+b+c)}}}{(c+a)(c+b)}}.$

En remarquant que l’aire $t$ du triangle est la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l’angle compris, on, aura

$t={\sqrt {abc(a+b+c)}}.$

Les perpendiculaires abaissées du centre $\mathrm {D}$ sur les côtés ${\overline {\mathrm {CA} }},{\overline {\mathrm {CB} }},$ et dont la longueur commune est $d,$ formeront avec ces côtés un quadrilatère bi-rectangle dont les deux autres côtés ont aussi une longueur commune $c$ et comprennent entre eux l’angle $\mathrm {C} ,$ connu par ce qui précède ; on aura donc (Lemme)

$d={\frac {c(1-\operatorname {Cos} .\mathrm {C} )}{\operatorname {Sin} .\mathrm {C} }}\,;$

c’est-à-dire, en substituant,

$d={\sqrt {\frac {abc}{a+b+c}}}\,;$

tel est donc le rayon du cercle qui contient les points de contact.

Si l’on voulait avoir la distance $\mathrm {DC} ,$ on trouverait d’abord

$\mathrm {DC} ={\frac {c{\sqrt {2(1-\operatorname {Cos} .\mathrm {C} )}}}{\operatorname {Sin} .\mathrm {C} }}\,;$

puis, en substituant

$\mathrm {DC} ={\sqrt {\frac {c(c+a)(c+b)}{a+b+c}}}.$

Les perpendiculaires abaissées du centre $\mathrm {E}$ sur les côtés ${\overline {\mathrm {CA} }}$ et ${\overline {\mathrm {CB} }},$ forment avec ces côtés un autre quadrilatère bi-rectangle, dont un angle oblique est encore $\mathrm {C}$ et dont les deux côtés adjacens sont ${\tfrac {1}{2}}(c+a)$ et ${\tfrac {1}{2}}(c+b).$ La diagonale qui joint les deux angles obliq étant e, on aura (Lemme)