Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/300

294

MULTIPLICITÉ

Tout étant d’ailleurs dans la figure 4 comme dans la figure 3 ; supposons présentement que la glace ne soit point étamée ; tout se passera comme dans le premier cas ; avec cette différence qu’une partie de la lumière parvenue en $\mathrm {N_{1},N_{2},N_{3}} ,\ldots \mathrm {N_{n}} ,$ sortira de la glace du côté opposé à la lumière, suivant des directions $\mathrm {N_{1}Q_{1},N_{2}Q_{2},N_{3}Q_{3}} ,\ldots \mathrm {N_{n}Q_{n}} ,$ parallèles à $\mathrm {LM_{0}} .$ Ainsi, un spectateur placé du même côté de la glace que la lumière pourra observer des effets tout pareils à ceux qui viennent d’être décrits ; si ce n’est pourtant qu’à raison des pertes de lumière qui ont lieu en $\mathrm {N_{1},N_{2},N_{3}} ,\ldots \mathrm {N_{n}} ,$ le phénomène sera beaucoup moins sensible ; mais, il le sera davantage pour le spectateur placé du côté opposé, lequel devra être affecté d’un nombre indéfini d’images de la lumière.

Soit pris ici le point $\mathrm {L}$ pour origine, en donnant d’ailleurs les mêmes directions aux axes ; nous aurons, comme ci-dessus,

$\mathrm {M_{0}M_{1}=M_{1}M_{2}} =\ldots \mathrm {M_{n-1}M_{n}} =\mathrm {N_{1}N_{2}=N_{2}N_{3}} =\ldots \mathrm {N_{n-1}N_{n}}$

$={\frac {2eA}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}\,;$

nous aurons d’ailleurs

$\mathrm {NN_{n}} =\mathrm {NN_{1}+N_{1}N} =\mathrm {MM_{0}+{\tfrac {1}{2}}M_{0}M_{1}+N_{1}N_{n}} =kA+{\frac {(2n-1)eA}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}\,;$

l’équation du rayon $\mathrm {N_{n}Q_{n}}$ sera donc

$y-kA-{\frac {(2n-1)eA}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}}=A(x-k-e)\,;$

ou, en réduisant et chassant le dénominateur

$\left\{y+A(e-x)\right\}{\sqrt {p^{2}+q^{2}A^{2}}}=(2n-1)eA\,;$

équation qui deviendra l’équation (I), en y changeant simplement $e-x$ en $x$ et $2n-1$ en $2n.$