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PROBLÈMES

${\frac {2\pi }{pq}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}}={\tfrac {1}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}}\left\{{\begin{aligned}&p^{2}u^{7}v(5y-x^{2}y-6xy^{2}+2x^{2}y^{3})\\+&2pqu^{4}r^{2}v(2x-y)\\+&q^{2}ur^{4}v\left(+4x-3y-3x^{2}y+xy^{2}+x^{3}y^{2}\right)\\\end{aligned}}\right\}$

154. Le troisième coefficient $C$ de la série est ce que devient la fraction ${\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}},$ dansle cas de $\lambda =0,$ qui est celui de $x=0,u=0,$ $\phi ={\frac {2\pi A}{p}},\ y=\operatorname {Cos} .{\frac {2\pi A}{p}},\ v=\operatorname {Sin} .{\frac {2\pi A}{p}},$ et $r=1.$ On aura donc

$C={\frac {pq(5p+3q)}{4\varpi (p-q)^{2}}}\operatorname {Sin} .{\frac {2\varpi A}{p}}\operatorname {Cos} .{\frac {2\varpi A}{p}},$

ou

$C={\frac {pq(5p+3q)}{8\varpi (p-q)^{2}}}\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi A}{p}}\,;$

le troisième terme sera donc

${\frac {pq(5p+3q)}{8\varpi (p-q)^{2}}}\lambda ^{2}\operatorname {Sin} .{\frac {4\varpi A}{p}}.$

155. On vient de trouver la valeur littérale de ${\frac {2\varpi }{pq}}.{\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} \lambda ^{2}}},$ composée de trois fractions telles que

${\frac {p^{2}u^{7}vS'+2pqu^{4}vS''+q^{2}ur^{4}vS'''}{\left(pu^{3}-qr^{2}\right)^{3}}},$

dans lesquelles

${\begin{aligned}S'=&5y-x^{2}y-6xy^{2}+2x^{2}y^{3}\\S''=&2x-y\\S'''=&4x-3y-3x^{2}y+xy^{2}+x^{3}y^{2}.\\\end{aligned}}$

Pour passer à ${\frac {\operatorname {d} ^{3}t}{\operatorname {d} \lambda ^{3}}}$ il faut appliquer la formule générale à chacune des trois fonctions $S',S'',S'''$ en particulier. En conséquence, nous aurons les différentielles qui suivent.

Exemple II. On demande la différentielle de