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RÉFLEXIONS

$y_{x}=a^{x},$

on aura

$y_{x+1}=a^{x+1}=a^{x}.a,$

c’est-à-dire,

$y_{x+1}=ay_{x}\,;$

autre définition d’où on tire

$y_{x+1}-y_{x}\qquad$ou$\qquad \Delta y=(a-1)y.$

Si l’on considère $a,a^{2},a^{3},\ldots a^{m},\ldots$ comme les ordonnées d’une suite de points isolés, ayant respectivement pour abscisses $1,2,3,\ldots m,\ldots$ la question de l’évaluation de $a^{x}$ reviendra à faire passer par ces points une courbe continue, quelle qu’elle soit, et à chercher ensuite celle de ses ordonnées qui répond à l’abscisse $x.$ La définition généralement admise revient à choisir une logarithmique ; mais cette courbe n’a au plus que l’avantage d’être la plus simple et pourrait, en toute rigueur, être remplacée par une infinité d’autres.

III. Considérons encore la suite des fonctions

${\frac {1}{a}},\qquad {\frac {1}{a+{\frac {1}{a}}}},\qquad {\frac {1}{a+{\frac {1}{a+{\frac {1}{a}}}}}},\qquad {\frac {1}{a+{\frac {1}{a+{\frac {1}{a+{\frac {1}{a}}}}}}}},\qquad \ldots$

désignons-les respectivement par $\varphi 1,\varphi 2,\varphi 3,\varphi 4,\ldots \,;$ il est clair qu’en général $\varphi x$ ne sera immédiatement évaluable, ni même exprimable et concevable, qu’autant que $x$ sera un nombre entier positif. Cependant, comme il est connu que, dans ce cas, on a

$\varphi x=2.{\frac {\left(a+{\sqrt {a^{2}+4}}\right)^{x}-\left(a-{\sqrt {a^{2}+4}}\right)^{x}}{\left(a+{\sqrt {a^{2}+4}}\right)^{x+1}-\left(a-{\sqrt {a^{2}+4}}\right)^{x+1}}}$^[1] ;

$a^{m}\times a^{n}=a^{m+n},\qquad$ou$\qquad \varphi m\times \varphi n=\varphi (m+n),$

et en déduire ensuite l’autre, comme il a été indiqué dans la note précédente.

1. Voyez les Recueils de l’Académie du Gard, pour 1811, tom. I, pag. 263, mémoire de M. Tédenat sur l’Analise indéterminée.