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SUR L’INTERPOLATION.

généralement admise, n’a d’autre prérogative que de conduire au but de la manière la plus simple.

II. Jusques vers le temps de Descartes, lorsqu’on voulait exprimer les produits consécutifs de la multiplication d’un même nombre $a$ par lui-même, on n’avait d’autre moyen d’éviter les notations incommodes de Viète que d’écrire

$a,aa,aaa,aaaa,\ldots$

Le désir d’abréger fit bientôt remplacer ces expressions par leurs équivalentes

$a,a^{2},a^{3},a^{4},\ldots$

et on convint ensuite d’employer le symbole $a^{m}$ pour désigner une puissance quelconque d’un nombre quelconque. Wallis se demanda alors ce que pourrait signifier l’expression $a^{m}$, lorsque $m$ serait une fraction, ${\frac {p}{q}}$ par exemple ; et, comme il avait sans doute remarqué que, lorsque $p$ est exactement divisible pas $q,$ on a

$a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}},$

il convint librement, et tous les analistes convinrent avec lui, d’adopter cette équation comme équation générale de définition des puissances, quels que pussent être d’ailleurs les nombres $p$ et $q$ ; et de lier ainsi les puissances entières et les puissances fractionnaires par une loi commune.

Mais cette loi, à la vérité la plus simple, n’était point la seule qu’on pût adopter ; on pouvait prendre, par exemple,

$a^{\frac {p}{q}}={\sqrt[{q}]{a^{p}}}+A\operatorname {Sin} .{\frac {p\varpi }{q}},$

$A$ et $\varpi$ ayant la même signification que ci-dessus^[1].

Si, changeant $m$ en $x,$ on écrit

1. On pourrait admettre, comme définition équivalente à celle-là, l’équation