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ALGÉBRIQUE.

$\Sigma \left(e^{nx}\operatorname {Sin} .ax\right)=e^{nx}\left(A\operatorname {Sin} .ax+B\operatorname {Cos} .ax\right),$

$A$ et $B$ étant les séries (Q-${\tfrac {1}{2}}$) et (R). Ainsi, ces valeurs peuvent être égalées aux valeurs (T).

Dans les valeurs (Q) nous avons fait passer la fraction ${\tfrac {1}{2}}$ dans le premier membre, pour plus de symétrie, ce qui a donné, pour ce premier membre,

${\frac {e^{n}\operatorname {Cos} .a-1}{e^{2n}-2e^{n}\operatorname {Cos} .a+1}}+{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}.{\frac {e^{2n}-1}{e^{2n}-2e^{n}\operatorname {Cos} .a+1}}$

$={\tfrac {1}{2}}.{\frac {e^{n}-e^{-n}}{e^{n}-2\operatorname {Cos} .a+e^{-n}}}.$

La formule (S) dérive de l’une des deux premières, en y mettant $y{\sqrt {-1}}$ pour $y.$

Observons que les coefficiens de $x=e^{y},$ dans les expressions de la somme des séries de la page 118, peuvent se déterminer d’une manière indépendante par les formules

${\begin{array}{rl}A_{n}=&1^{n-1},\\B_{n}=&2^{n-1}-{\frac {n}{1}}1^{n-1},\\C_{n}=&3^{n-1}-{\frac {n}{1}}2^{n-1}+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}1^{n-1},\\D_{n}=&4^{n-1}-{\frac {n}{1}}3^{n-1}+{\frac {n}{1}}{\frac {n-1}{2}}2^{n-1}-{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}1^{n-1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}$

Ainsi, dans l’exemple de la page 119. on aurait

${\begin{array}{rl}A_{7}=&1\ =1,\\B_{7}=&2^{6}-7.1\ =57,\\C_{7}=&3^{6}-7.2^{6}+21.1\ =302,\\D_{7}=&4^{6}-7.3^{6}+21.2^{6}-35.1=302,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}$

Au reste, la suite des coefficiens $A_{n},B_{n},\ldots$ étant symétrique, il suffit de calculer la moitié des termes.