Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/253

247

ALGÉBRIQUE.

Ces formules se tirent des équations (N), en partant de la troisième, par des substitutions successives. On peut aussi les en faire dériver comme il suit.

L’équation (K) donne

$\operatorname {Log} .n=\Lambda \left(1-{\frac {1}{n}}\right)-\Lambda (1-n)\,;\qquad$(O)

d’où

$\operatorname {Log} .n=\lambda _{1}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)-\lambda _{2}\left(n^{2}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)+\lambda _{3}\left(n^{3}-{\frac {1}{n^{3}}}\right)-\ldots$

Nous remarquerons, en passant, que le développement de $\operatorname {Log} .n$ se fait ici suivant les puissances entières de $n,$ sous une forme très-simple quoique peu usitée ; et c’est un fait d’analise assez singulier que les coefficiens d’un tel développement, pour une fonction qui doit également être regardée comme fort simple, soit soumis à une marche aussi irrégulière que celle des $\lambda .$

Soit fait, dans l’équation précédente, n=1+i d’où ${\tfrac {1}{n}}=1-i+i^{2}$$-i^{3}+\ldots \,;$ on aura

$i-{\frac {i^{2}}{2}}+{\frac {i^{3}}{3}}-{\frac {i^{4}}{4}}+\ldots$

$=\lambda _{1}\left(2i-i^{2}+\ldots \right)-\lambda _{2}\left(4i-2i^{2}+\ldots \right)+\lambda _{3}\left(6i-3i^{2}+\ldots \right)-\ldots$

La comparaison des termes qui multiplient les différentes puissances de $i$ fournira des équations dont les deux premières donneront également

${\frac {1}{2}}=\lambda _{1}-2\lambda _{2}+3\lambda _{3}-4\lambda _{4}+\ldots$

Or, on a, par exemple

${\begin{array}{lrl}{\text{Par (N) }}5\gamma _{5}=&5\Lambda 1-{\tfrac {1}{2}}&-4\lambda _{1}+3\lambda _{2}-2\lambda _{3}+\lambda _{4}\\{\text{Par (G) }}5\Lambda 1=&&+5\lambda _{1}-5\lambda _{2}+5\lambda _{3}-5\lambda _{4}+5\lambda _{5}-5\lambda _{6}+\ldots \\{\text{Par (P) }}-{\tfrac {1}{2}}=&&-\lambda _{1}+2\lambda _{2}-3\lambda _{3}+4\lambda _{4}-5\lambda _{5}+6\lambda _{6}-\ldots \\\end{array}}$

donc