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D’ASTRONOMIE.
104. Substituant, dans les expressions littérales de
la valeur de
qu’on vient de trouver, et posant, pour abréger,
on aura les formules qui suivent :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sin} .\mu ={\frac {\sqrt {d^{4}-2bcd^{2}+b^{2}f^{2}}}{d^{2}}}\ \ ,&\qquad \operatorname {Cos} .\mu ={\frac {\sqrt {2bcd^{2}-b^{2}f^{2}}}{d^{2}}},\\\\\operatorname {Sin} .\phi ={\frac {a{\sqrt {2bcd^{2}-b^{2}f^{2}}}}{c{\sqrt {d^{4}-2bcd^{2}+b^{2}f^{2}}}}}\,;&\qquad \operatorname {Cos} .\phi ={\frac {cd^{2}-bf^{2}}{c{\sqrt {d^{4}-2bcd^{2}+b^{2}f^{2}}}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5483e07cac794b75fb7adb5fd563c41a4d2a724c)
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\psi ={\frac {a{\sqrt {2bcd^{2}-b^{2}f^{2}}}}{b^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ddeee3c4864242b0439dbab9fd357e89ea5af03)
105. Ayant ainsi trouvé les anomalies excentriques
moyennant
et
on passera aux anomalies vraies
et
moyennant les équations connues
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Sin} .\mu }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},\qquad \operatorname {Cos} .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }{1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3169b1defd42c34f3a4eb805195ff31841a1ae3d)
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {\operatorname {Tang} } .\phi ={\frac {\operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Sin} .\mu }{\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d1550f96a2f9ab97bf88f15da340bb8b182df6)
ou bien
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\phi =\operatorname {Tang} .\left(45^{\circ }-{\tfrac {1}{2}}\mu \right)\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\varkappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dc8a8e422f648967621b546d067ca38aba3dd51)
106. Connaissant l’anomalie vraie
on aura, pour déterminer l’angle
que fait la ligne des apsides avec celle des nœuds, les équations suivantes, parmi lesquelles on peut choisir,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(\varepsilon +\phi )=&{\frac {P\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa }}={\frac {P\operatorname {Cos} .\phi }{\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }},\\\operatorname {Sin} .(\varepsilon +\phi )=&{\frac {Q\operatorname {Sin} .\phi }{\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\varkappa }}={\frac {Q\operatorname {Cos} .\phi }{\operatorname {Cos} .\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu }}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49117852f93cd992836ef1c82a47216cd33e2a84)
107. Reste donc à déterminer le seul angle
qui fixe l’instant du passage par le périhélie, et qui sera la seule inconnue de l’une quelconque des trois équations