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D’ASTRONOMIE

$n^{2}{\mathcal {f}}^{2}=\operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(1-\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \right)$

par le quarré de la troisième

$n^{2}c^{2}=\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi ,$

nous aurons

$n^{4}c^{2}{\mathcal {f}}^{2}=\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(\operatorname {Sin} .^{2}\psi -\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \operatorname {Sin} .^{2}\psi \right)\,;$

mais, en élevant au quarré les deux membres de la seconde, on a

$n^{4}b^{2}=\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(\operatorname {Cos} .^{2}\psi +2\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\psi +\operatorname {Sin} .^{2}\mu \operatorname {Cos} .^{2}\varkappa \right)\,;$

en les ajoutant donc, membre à membre, il viendra

$n^{4}h^{2}=\operatorname {Cos} .^{2}\mu \operatorname {Sin} .^{2}\psi \left(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\psi \right)^{2},$

d’où

$n^{2}h=\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi \left(1+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\psi \right)\,;$

mais la seconde, étant multipliée par $\operatorname {Cos} .\psi ,$ devient

$n^{2}b\operatorname {Cos} .\psi =\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\psi \left(\operatorname {Cos} .^{2}\psi +\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .\varkappa \operatorname {Cos} .\psi \right)\,;$

ce qui donne, par soustraction,

$n^{2}(h-b\operatorname {Cos} .\psi )=\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .^{3}\psi =nc\operatorname {Sin} .^{2}\psi \,;$

c’est-à-dire,

$n(h-b\operatorname {Cos} .\psi )=c\operatorname {Sin} .^{2}\psi \,;$

d’où

$n={\frac {c\operatorname {Sin} .^{2}\psi }{h-b\operatorname {Cos} .\psi }}$

Le problème se trouve donc ainsi réduit aux deux équations simples

$nd{\sqrt {n}}=\psi +{\sqrt {\operatorname {Sin} .^{2}\psi -n^{2}{\mathcal {f}}^{2}}}\,;$

$n(h-b\operatorname {Cos} .\psi )=c\operatorname {Sin} .^{2}\psi .$