tirée de l’équation d’où elle dérive facilement ; mais il ne le serait pas relativement à cette dernière ; car, pour démontrer qu’une certaine expression a telle valeur, il faut premièrement avoir défini cette expression ; or, existe-t-il des puissances à exposans imaginaires une définition antérieure à ce qu’on appelle la démonstration d’Euler ? c’est ce qui ne paraît pas. Lorsque Euler a cherché à ramener l’expression à des quantités évaluables, il a dû naturellement considérer le théorème antérieurement prouvé, pour toutes les valeurs réelles de En faisant il a trouvé d’où il a dû conclure, non que mais que, si l’on définissait l’expression en disant qu’elle représente une quantité égale à les puissances à exposans réels et les puissances à exposans imaginaires se trouveraient liées par une loi commune. Ce n’est donc là encore qu’une extension de principes et non la démonstration d’un théorème.
C’est aussi par une extension des principes que j’ai été conduit à regarder comme exprimant la perpendiculaire sur le plan Les deux résultats se contredisent, et assurément je n’ai garde de prétendre faire prévaloir le mien ; j’ai voulu seulement faire observer que MM. Servois et Français l’ont attaqué par des considérations qui, au fond, sont de la même nature que celles sur lesquelles je m’étais appuyé pour l’établir.
Mais, si la perpendiculaire dont il s’agit ne peut pas être exprimée par quelle sera donc son expression ? ou, pour mieux dire, peut-on trouver une expression telle que, si on l’adopte pour représenter cette perpendiculaire, toutes les lignes tirées dans une direction quelconque (lesquelles auraient alors leur expression) soient liées par une loi commune, comme cela a déjà lieu relativement à toute ligne tirée dans les plans C’est là une question qui semble devoir exciter la curiosité des géomètres, du moins de ceux d’entre eux qui admettent la nouvelle théorie.
