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observant que, 1 n’ayant pas de diviseurs plus petits que lui, on a simplement $\mathbf {F'} D_{1}=\mathbf {F'} 1=\mathbf {F} 1.$

Comme, par le n.^o précédent, on a, dans le cas de $d$ impair, $\Lambda d=\Gamma d,$ et comme d’ailleurs un nombre impair ne peut avoir que des diviseurs impairs, il s’ensuit qu’on peut, quand $d$ est impair, écrire plus simplement $\Lambda 'd=\Gamma 'd,$.

À l’aide de ces attentions on trouvera, pour $N=6,$

${\begin{aligned}\mathbf {P'} D_{1}&=\mathbf {P'} 1=\mathbf {P} 1=12,\\\mathbf {P'} D_{2}&=\mathbf {P'} 2=\mathbf {P} 2-\mathrm {P'} 1=36-12=24,\\\mathbf {P'} D_{3}&=\mathbf {P'} 3=\mathbf {P} 3-\mathrm {P'} 1=48-12=36,\\\mathbf {P'} D_{4}&=\mathbf {P'} 6=\mathbf {P} 6-\left(\mathrm {P'} 1+\mathrm {P'} 2+\mathrm {P'} 3\right)=720-(12+24+36)=648.\\\mathbf {\Gamma '} D_{1}&=\mathbf {\Gamma '} 1=\mathbf {\Gamma } 1=12,\\\mathbf {\Gamma '} D_{2}&=\mathbf {\Gamma '} 2=\mathbf {\Gamma } 2-\mathrm {\Gamma '} 1=36-12=24,\\\mathbf {\Gamma '} D_{3}&=\mathbf {\Gamma '} 3=\mathbf {\Gamma } 3-\mathrm {\Gamma '} 1=24-12=12,\\\mathbf {\Gamma '} D_{4}&=\mathbf {\Gamma '} 6=\mathbf {\Gamma } 6-\left(\mathrm {\Gamma '} 1+\mathrm {\Gamma '} 2+\mathrm {\Gamma '} 3\right)=144-(12-24-12)=96.\\\mathbf {\Lambda '} D_{1}&=\mathbf {\Lambda '} 1=\mathbf {\Gamma '} 1=12,\\\mathbf {\Lambda '} D_{2}&=\mathbf {\Lambda '} 2=\mathbf {\Lambda } 2-\mathrm {\Lambda '} 1=12-12=0,\\\mathbf {\Lambda '} D_{3}&=\mathbf {\Lambda '} 3=\mathbf {\Gamma '} 3=12,\\\mathbf {\Lambda '} D_{4}&=\mathbf {\Lambda '} 6=\mathbf {\Lambda } 6-\left(\mathrm {\Lambda '} 1+\mathrm {\Lambda '} 2+\mathrm {\Lambda '} 3\right)=48-(12+0+12)=24.\\\end{aligned}}$

6. Des fonctions $\Gamma '$ et $\Lambda '$ on tire les fonctions $\sigma ,\sigma ',\sigma ''$ de la manière suivante :

Pour $d$ pair$\left\{{\begin{aligned}\sigma 'd&={\frac {d}{2}}\Gamma 'd,\\\sigma ''d&={\frac {d}{2}}\Lambda 'd,\\\sigma d&=\sigma 'd+\sigma ''d\,;\\\end{aligned}}\right.$

Pour $d$ impair$\quad \sigma d=d\Gamma 'd\,;$

$\sigma '$ et $\sigma ''$ ne s’emploient pas dans ce second cas.

Ainsi, pour $N=6,$