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CORRESPONDANCE.

Or, on voit évidemment que, $C$ étant une constante, $z$ ne peut devenir minimum, qu’autant que la fonction

${\sqrt {Z^{2}+\lambda ^{2}(ay-bx)^{2}}}-Z$

sera la plus petite possible ; et, comme d’ailleurs elle ne peut jamais devenir négative, on ne peut parvenir au but qu’en la rendant absolument nulle, c’est-à-dire, en posant

$Z={\sqrt {Z^{2}+\lambda ^{2}(ay-bx)^{2}}}\,;$

ce qui donne, en quarrant, réduisant, divisant par $\lambda ^{2},$ extrayant la racine quarrée et transposant,

$bx=ay,$

En combinant cette équation avec (3), il vient

$xSin.\alpha =ySin.\beta ,$

d’où

$k^{2}x^{2}Sin.^{2}\alpha =k^{2}y^{2}Sin.^{2}\beta ,$

et

$k^{2}x^{2}Sin.^{2}\alpha +x^{2}y^{2}Sin.^{2}\alpha Sin.^{2}\beta =k^{2}y^{2}Sin.^{2}\beta +x^{2}y^{2}Sin.^{2}\alpha Sin.^{2}\beta ,$

ou encore

$x^{2}Sin.^{2}\alpha \left(k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta \right)=y^{2}Sin.^{2}\beta \left(k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha \right),$

ou enfin

${\frac {xSin.\alpha }{\sqrt {k^{2}+x^{2}Sin.^{2}\alpha }}}={\frac {ySin.\beta }{\sqrt {k^{2}+y^{2}Sin.^{2}\beta }}},$

qui est précisément l’équation (6) de l’endroit cité.

Agréez, etc.

21 août 1814.