Je suppose que, sachant mesurer les aires des figures rectilignes, on ait besoin, pour la première fois, de déterminer celle d’un cercle. La nouveauté du problème et son peu d’analogie apparente avec les problèmes antérieurement résolus pourront d’abord causer quelque embarras, et la première pensée qui s’offrira pour le surmonter, sera de substituer quelque approximation à une évaluation rigoureuse.
On circonscrira donc au cercle un polygone régulier d’un très-grand nombre de côtés ; et, supposant entre l’une et l’autre figures une identité qui réellement n’a lieu qu’à peu près, on prendra pour l’aire approchée du cercle le produit du périmètre du polygone circonscrit par la moitié du rayon ; résultat évidemment d’autant plus approché que les côtés du polygone seront plus nombreux ; mais, dans tous les cas, plus grand que le véritable.
Dans la vue de le diminuer un peu, et conséquemment d’atténuer encore l’erreur, il se présente assez naturellement à la pensée de substituer au périmètre du polygone la longueur de la circonférence, qui est plus petite, c’est-à-dire, de prendre pour l’aire approchée du cercle le produit de sa circonférence par la moitié de son rayon. On ne pourra plus savoir ici, du moins a priori, si l’erreur est en plus ou en moins, attendu l’espèce de compensation introduite dans la première évaluation ; mais, si l’erreur existe en effet, sa grandeur absolue n’en devra pas moins demeurer évidemment subordonnée au nombre des côtés du polygone circonscrit ; et décroître à mesure que ce nombre augmentera.
Cette erreur, si elle existait, devrait donc être, de sa nature, essentiellement variable ; mais, d’un autre côté, elle ne saurait l’être, puisque la considération du polygone n’entre plus pour rien dans la dernière évaluation à laquelle on s’est arrêté, et que les élémens qu’on y emploie sont constans comme l’aire même qu’on cherche à évaluer : donc l’erreur est tout à fait nulle ; donc il a dû s’opérer une exacte compensation ; donc l’évaluation est rigoureuse, donc, etc.
J’ai traîné, à dessein, le raisonnement un peu en longueur, afin d’en rendre l’esprit plus facile à saisir ; mais, lorsqu’une fois il
