Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1814-1815, Tome 5.djvu/19

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

15

D’ASTRONOMIE.

{\begin{aligned}-\operatorname {Tang} .\beta =&{\frac {D\operatorname {Cos} .\delta -E\operatorname {Sin} .\delta }{F\operatorname {Cos} .^{2}\delta -G\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Cos} .\delta +H\operatorname {Sin} .^{2}\delta }},\\-\operatorname {Tang} .\beta =&{\frac {D'\operatorname {Cos} .\delta -E'\operatorname {Sin} .\delta }{F'\operatorname {Cos} .^{2}\delta -G'\operatorname {Sin} .\delta \operatorname {Cos} .\delta +H'\operatorname {Sin} .^{2}\delta }}.\\\end{aligned}}

93. Reste donc, pour trouver l’angle inconnu $\delta ,$ à égaler ensemble ces deux fractions qui, par la nature du problème, doivent être équivalentes. On aura l’équation du troisième degré qui suit :

0=(DF'-D'F)

-(DG'\ -D'G+EF'-E'F)\operatorname {Tang} .\delta

+(DH'-D'H+EG'-E'G)\operatorname {Tang} .^{2}\delta

+(EH'-E'H)\operatorname {Tang} .^{3}\delta .

^[1]

94. La tangente de l’angle inconnu $\delta ,$ duquel dépend la détermination de tous les autres élémens est donc la racine d’une équation assez simple du troisième degré ; et la nature du problème nous permet de présumer qu’elle est la seule réelle. Remarquons que nous ne nous sommes permis aucune supposition sur la nature de l’orbite, le grand système de la gravitation universelle nous apprenant uniquement que c’est une section conique. Eu appliquant, dans chaque cas particulier, les valeurs numériques données par les observations aux expressions littérales de nos formules, nous verrons si c’est une parabole, une ellipse ou bien une hyperbole. Dispensés de l’emploi ordinaire et très-pénible des faussas positions, nous devons remarquer que notre solution, de même que toutes celles de l’algèbre élémentaire, conduit directement au but qu’on s’était proposé. En supposant à la terre un mouvement circulaire et uniforme, pendant l’intervalle qui sépare les observations, nous avons fait disparaître de nos formules la ligne $a,$ demi-grand axe de l’orbe

↑ En ne supposant point nulles les deux différences $h\operatorname {Sin} .t-t\operatorname {Sin} .h$ et $h\operatorname {Sin} .t'-t'\operatorname {Sin} .h,$ l’équation finale qui donne $\operatorname {Tang} .\delta$ est beaucoup plus compliquée ; mais elle ne s’élève néanmoins qu’au quatrième degré.

[1] En ne supposant point nulles les deux différences $h\operatorname {Sin} .t-t\operatorname {Sin} .h$ et $h\operatorname {Sin} .t'-t'\operatorname {Sin} .h,$ l’équation finale qui donne $\operatorname {Tang} .\delta$ est beaucoup plus compliquée ; mais elle ne s’élève néanmoins qu’au quatrième degré.

[1]