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DES NOMBRES.

Cette équation pourra ensuite être mise sous les trois formes suivantes

$\mathrm {N} =b^{m}\left(\mathrm {A_{1}} +\mathrm {A_{2}} b^{m}+\mathrm {A_{3}} b^{2m}+\ldots \right)+A_{0}.\qquad \qquad \qquad$(1)

${\begin{aligned}\mathrm {N} &=\left\{\mathrm {A_{1}} \left(b^{m}-1\right)+\mathrm {A_{2}} \left(b^{2m}-1\right)+\mathrm {A_{3}} \left(b^{3m}-1\right)+\ldots \right\}\\&+(\mathrm {A_{0}} +\mathrm {A_{1}} +\mathrm {A_{2}} +\mathrm {A_{3}} +\ldots )\\\end{aligned}}$(2)

${\begin{aligned}\mathrm {N} &=\left\{\mathrm {A_{1}} \left(b^{m}+1\right)+\mathrm {A_{2}} \left(b^{2m}-1\right)+\mathrm {A_{3}} \left(b^{3m}+1\right)+\ldots \right\}\\&+\left(\mathrm {A_{0}} +\mathrm {A_{2}} +\mathrm {A_{4}} +\ldots \right)-\left(\mathrm {A_{1}} +\mathrm {A_{3}} +\mathrm {A_{5}} +\ldots \right)\\\end{aligned}}$(3)

En observant que les premières parties de ces diverses expressions de $\mathrm {N}$ sont respectivement divisibles par $b^{m},b^{m}-1,b^{m}+1,$ et conséquemment par tous diviseurs de ces trois nombres, on pourra établir les propositions suivantes.

1.^o Dans tout système de numération, le reste de la division d’un nombre quelconque par un diviseur quelconque de la m.^me puissance de la base du système, est le même que celui qu’on obtient en divisant sa première tranche de $m$ chiffres à droite par ce diviseur.

2.^o Dans tout système de numération, le reste de la division d’un nombre quelconque par un diviseur quelconque du plus grand nombre de $m$ chiffres est le même que celui qu’on obtient en divisant la somme de ses tranches de $m$ chiffres par ce diviseur.

3.^o Dans tout système de numération le reste de la division d’un nombre quelconque par l’un quelconque des diviseurs de la m.^me puissance de la base augmentée d’une unité est le même que celui qu’on obtient en divisant par le même diviseur la somme des tranches de $m$ chiffres de rangs impairs moins la somme des tranches de $m$ chiffres de rangs pairs.

Afin donc que la première division réussisse, dans chaque cas,