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RÉFLEXIONS

les prolégomènes de la Critique de la raison pure, ce passage très-significatif : (Je cite d’après la traduction latine de Born) Cum enim vix unquam de mathesi suâ philosophati sint (arduum sanè negotium)… tritœ regulœ atque empiricè usurpatœ… iis sunt instar axiomatum ; mais j’étais loin d’imaginer jusqu’à quel

la relation (8) est vraie quand la relation (7) a lieu ; mais, pour $m=0,m=1,$ cette dernière est démontrée ; donc elle est généralement vraie. En rappliquant à l’équation (4), on aura

${\begin{array}{rrr}P=\Delta ^{m+1}\operatorname {F} x-A\Delta ^{m+2}\operatorname {F} x&+B\Delta ^{m+3}\operatorname {F} x&-C\Delta ^{m+4}\operatorname {F} x&+\ldots \\-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{m+2}\operatorname {F} x&+{\tfrac {1}{2}}A\Delta ^{m+3}\operatorname {F} x&-{\tfrac {1}{2}}B\Delta ^{m+4}\operatorname {F} x&+\ldots \\&+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{m+3}\operatorname {F} x&-{\tfrac {1}{3}}A\Delta ^{m+4}\operatorname {F} x&+\ldots \\&&-{\tfrac {1}{4}}\Delta ^{m+4}\operatorname {F} x&+\ldots \\&&&+\ldots \\\end{array}}$

La première ligne horizontale est la même chose (3) que $\Delta \Pi$ ; la 2.^me la même chose que $-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\Pi \,;$ la 3.^me la même chose que $+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\Pi ,\ldots \,;$ donc

$P=\Delta \Pi -{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\Pi +{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\Pi -{\tfrac {1}{4}}\Delta ^{4}\Pi +\ldots$

C’est la relation qui règne entre deux séries consécutives, coefficens de $n,$ dans le développement de $\operatorname {F} (x+n\alpha ),$ suivant les puissances de $n$ ; relation que nous avons établie d’une autre manière (n.^o 15) ; et de laquelle il suit que, si l’on fait, comme en l’endroit cité,

$\Delta \operatorname {F} x-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {F} x+{\tfrac {1}{3}}\operatorname {F} x-\ldots =\operatorname {d} \operatorname {F} x,$

On aura

$\Pi =\operatorname {d} ^{m}\operatorname {F} x,\qquad P=\operatorname {d} ^{m+1}\operatorname {F} x.$

On passe absolument de la même manière du développement de $(1+b)^{n},$ donné par la formule du binôme, au développement suivant les puissances de $n$ ; d’où l’on voit que c’est pure paresse aux analistes d’introduire l’infini pour effectuer ce passage.