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RÉFLEXIONS

discutais avec un Criticiste) ; et leur absence de la méthode ascendante assure à celle-ci tout l’avantage sur sa rivale.^[1]

↑ J’ai dit (n.^o 15) qu’on pouvait, par un simple changement dans la manière d’ordonner, passer du développement suivant les produits $\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right),\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)$ $\left({\frac {x-p-\alpha }{\alpha }}\right),\ \left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)\left({\frac {x-p-\alpha }{\alpha }}\right)\left({\frac {x-p-2\alpha }{\alpha }}\right),\ldots ,$ au développement suivant les puissances $\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right),\ \left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)^{2},\ \left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)^{3},\ldots .$ On verra peut-être avec quelque intérêt comment je puis justifier cette assertion.
Je prends, comme plus simple, le développement de $\operatorname {F} (x+n\alpha ).$ Il ne faut qu’une légère attention, après les premiers essais de développement, pour reconnaître qu’on a

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {F} (x+n\alpha )=\operatorname {F} x&+{\frac {n}{1}}\left\{\Delta \operatorname {F} x-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {F} x+{\frac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {F} x-\ldots \right\}\\&+{\frac {n^{2}}{1.2}}\left\{\Delta ^{2}\operatorname {F} x-{\frac {3}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {F} x+{\frac {11\Delta ^{4}\operatorname {F} x}{3.4}}-\ldots \right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {n^{m}}{1.2\ldots m}}&\left\{\Delta ^{m}\operatorname {F} x-{\frac {A\Delta ^{m+1}\operatorname {F} x}{m+1}}+{\frac {B\Delta ^{m+2}\operatorname {F} x}{(m-1)(m+2)}}-\ldots \right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}(1)$

équation dans laquelle les coefficiens $A,B,\ldots$ de la série qui multiplie ${\frac {n^{m}}{1.2\ldots m}},$ série que, pour abréger, je désignerai à l’avenir par $\Pi ,$ sont, d’après la théorie générale des équations, et en représentant respectivement par $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots S_{\mu },$ les sommes de produits à $1$ à $1,\ 2$ à $2,\ 3$ à $3,\ldots \mu$ à $\mu ,$

$A=S_{1}(1,2,\ldots ,m),\ B=S_{2}(1,2,\ldots ,m+1),\ C=S_{3}(1,2,\ldots ,m+2),\ldots$

$M=S_{\mu }(1,2,\ldots ,m+\mu -1).$

$\mu$ est le rang de la lettre $M$ ; $A$ étant supposée la première. Je désignerai par $P$ la série qui multiplie ${\frac {n^{m+1}}{1.2\ldots m+1}}\,;$ ses coefficiens seront ${\frac {A'}{m+2}},$ ${\frac {B'}{(m+2)(m+3)}},\ldots \,;$

[p162-1] J’ai dit (n.^o 15) qu’on pouvait, par un simple changement dans la manière d’ordonner, passer du développement suivant les produits $\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right),\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)$ $\left({\frac {x-p-\alpha }{\alpha }}\right),\ \left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)\left({\frac {x-p-\alpha }{\alpha }}\right)\left({\frac {x-p-2\alpha }{\alpha }}\right),\ldots ,$ au développement suivant les puissances $\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right),\ \left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)^{2},\ \left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)^{3},\ldots .$ On verra peut-être avec quelque intérêt comment je puis justifier cette assertion.
Je prends, comme plus simple, le développement de $\operatorname {F} (x+n\alpha ).$ Il ne faut qu’une légère attention, après les premiers essais de développement, pour reconnaître qu’on a

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {F} (x+n\alpha )=\operatorname {F} x&+{\frac {n}{1}}\left\{\Delta \operatorname {F} x-{\frac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {F} x+{\frac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {F} x-\ldots \right\}\\&+{\frac {n^{2}}{1.2}}\left\{\Delta ^{2}\operatorname {F} x-{\frac {3}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {F} x+{\frac {11\Delta ^{4}\operatorname {F} x}{3.4}}-\ldots \right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+{\frac {n^{m}}{1.2\ldots m}}&\left\{\Delta ^{m}\operatorname {F} x-{\frac {A\Delta ^{m+1}\operatorname {F} x}{m+1}}+{\frac {B\Delta ^{m+2}\operatorname {F} x}{(m-1)(m+2)}}-\ldots \right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}(1)$

équation dans laquelle les coefficiens $A,B,\ldots$ de la série qui multiplie ${\frac {n^{m}}{1.2\ldots m}},$ série que, pour abréger, je désignerai à l’avenir par $\Pi ,$ sont, d’après la théorie générale des équations, et en représentant respectivement par $S_{1},S_{2},S_{3},\ldots S_{\mu },$ les sommes de produits à $1$ à $1,\ 2$ à $2,\ 3$ à $3,\ldots \mu$ à $\mu ,$

$A=S_{1}(1,2,\ldots ,m),\ B=S_{2}(1,2,\ldots ,m+1),\ C=S_{3}(1,2,\ldots ,m+2),\ldots$

$M=S_{\mu }(1,2,\ldots ,m+\mu -1).$

$\mu$ est le rang de la lettre $M$ ; $A$ étant supposée la première. Je désignerai par $P$ la série qui multiplie ${\frac {n^{m+1}}{1.2\ldots m+1}}\,;$ ses coefficiens seront ${\frac {A'}{m+2}},$ ${\frac {B'}{(m+2)(m+3)}},\ldots \,;$

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