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PROBLÈMES.

86. Pour présenter ces développemens sous la forme la plus simple, nous ferons d’abord

${\begin{aligned}\theta '\,-\theta \ =&t,\\\theta ''-\theta '=&t',\\\theta ''-\theta \ =&h,\end{aligned}}$

de manière que $h=t+t'\,$ ces trois lettres désigneront ainsi les intervalles des temps. De plus, nous désignerons les trois dénominateurs par $D,D',D''\,$ de manière que

${\begin{aligned}D\ \,&=\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A\ \,)\operatorname {Cot} .B,\\D'\,&=\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A'\,)\operatorname {Cot} .B',\\D''&=\operatorname {Cos} .\beta +\operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .(\delta -A'')\operatorname {Cot} .B'',\end{aligned}}$

Enfin nous emploîrons les lettres $M,N,0$ pour exprimer les trois différences de produit qui suivent :

${\begin{aligned}M=&\operatorname {Sin} .(\theta \ -A\ )\operatorname {Sin} .(\theta '\,-\delta )\operatorname {Cot} .B-\operatorname {Sin} .(\theta '\,-A'\,)\operatorname {Sin} .(\theta \ -\delta )\operatorname {Cot} .B'\,,\\N=&\operatorname {Sin} .(\theta \ -A\ )\operatorname {Sin} .(\theta ''-\delta )\operatorname {Cot} .B-\operatorname {Sin} .(\theta ''-A'')\operatorname {Sin} .(\theta \ -\delta )\operatorname {Cot} .B'',\\O=&\operatorname {Sin} .(\theta '-A')\operatorname {Sin} .(\theta ''-\delta )\operatorname {Cot} .B-\operatorname {Sin} .(\theta ''-A'')\operatorname {Sin} .(\theta '-\delta )\operatorname {Cot} .B'',\end{aligned}}$

87. En faisant usage de ces notations, on aura, de la manière suivante, les développemens qu’on demandait, savoir :

${\begin{aligned}D\ D'\,(P\ Q'\ -P'\ Q\ )=&\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .t+M\operatorname {Sin} .\beta ,\\D\ D''(P\,\ Q''-P''Q\ )=&\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .h+N\operatorname {Sin} .\beta ,\\D'D''(P'Q''-P''Q')=&\operatorname {Cos} .\beta \operatorname {Sin} .t'+O\operatorname {Sin} .\beta .\end{aligned}}$

88. Reste donc simplement à substituer les expressions que nous venons d’obtenir dans les égalités (84), savoir

${\begin{aligned}h(P\ \,Q'\,-P'\,Q\ )=&t\ (PQ''-P''Q),\\h(P'Q''-P''Q')=&t'(PQ''-P''Q).\end{aligned}}$

En mettant ici à la place de $D,D',D'',$ leurs valeurs respectives, tirées de (86) ; ensuite à la place de $PQ'-P'Q,\ P'Q''-P''Q,$