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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} }{u}}\varphi p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\varphi p.{\frac {\varphi p}{\operatorname {d} ft}},\qquad &{\frac {\operatorname {d} }{v}}\varphi p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\varphi p.{\frac {\psi p}{\operatorname {d} ft}},\\{\frac {\operatorname {d} }{u}}\psi p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\psi p.{\frac {\varphi p}{\operatorname {d} ft}},\qquad &{\frac {\operatorname {d} }{v}}\psi p={\frac {\operatorname {d} }{x}}\psi p.{\frac {\psi p}{\operatorname {d} ft}},\\\end{aligned}}\right\}\quad$(126)

Quand on fait, dans (118), $u=v=0,$ il vient $ft=0.$ Supposons que cette équation donne $t=\theta$ ; on aura $\operatorname {F} p_{0}=\operatorname {F} (x+\theta )\,;$ et, d’après les équations (125),

${\frac {\operatorname {d} }{u}}\operatorname {F} p_{0}={\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} (x+\theta ).{\frac {\varphi (x+\theta )}{\operatorname {d} f\theta }}\,;\qquad {\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p_{0}={\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} (x+\theta ).{\frac {\psi (x+\theta )}{\operatorname {d} f\theta }}.$

Voilà déjà les trois premiers termes du développement (119) entièrement déterminés. Pour passer outre, on différencie les équations (125), la première suivant $u$ et $v,$ la seconde suivant $v$ et on a, pour ${\frac {\operatorname {d} ^{2}}{u}}\operatorname {F} p,\ {\frac {\operatorname {d} }{u}}{\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} p,\ {\frac {\operatorname {d} ^{2}}{v}}\operatorname {F} p,$ des expressions qui contiennent linéaîrement les différentielles, selon $u,v,x,$ de $\operatorname {F} p,\varphi p,\psi p$ et $t.$ On élimine Les différentielles suivant $u$ et $v,$ par le moyen des équations (124), (125), (126) ; et, réductions faites, il vient

$\left.{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{u}}\operatorname {F} p=&{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\left[{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p)^{2}\right]}{(\operatorname {d} ft)^{2}}}-{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p)^{2}.\operatorname {d} ^{2}ft.\left(1+2{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right)}{(\operatorname {d} ft)^{3}}},\\{\frac {\operatorname {d} }{u}}{\frac {\operatorname {d} }{v}}\operatorname {F} =&{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\left[{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.\varphi p.\psi p\right]}{(\operatorname {d} ft)^{2}}}-{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\varphi p).(\psi p).\operatorname {d} ^{2}ft.\left(1+2{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right)}{(\operatorname {d} ft)^{3}}},\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{v}}\operatorname {F} p=&{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\left[{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\psi p)^{2}\right]}{(\operatorname {d} ft)^{2}}}-{\frac {{\frac {\operatorname {d} }{x}}\operatorname {F} p.(\psi p)^{2}.\operatorname {d} ^{2}ft.\left(1+2{\frac {\operatorname {d} }{x}}t\right)}{(\operatorname {d} ft)^{3}}}.\\\end{aligned}}\right\}$ (127)

Dans celles-ci, on satisfait à l’hypothèse $u=v=0,$ qui donne $t=\theta ,$