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PROBLÈMES.

${\begin{aligned}bP=&r\operatorname {Cos} .(\varepsilon +\phi ),\\bQ=&r\operatorname {Sin} .(\varepsilon +\phi ),\\bP'=&r'\operatorname {Cos} .(\varepsilon +\phi '),\\bQ'=&r'\operatorname {Sin} .(\varepsilon +\phi '),\\\end{aligned}}$

nous en déduirons

$\mathrm {b} ^{2}(PQ'-P'Q)=rr'\operatorname {Sin} .(\phi '-\phi ),$

ce qui devient, en réduisant

$PQ'-P'Q=\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Cos} .\mu \operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa ).$

De plus, nous avons (77)

${\frac {p}{q}}(\theta '-\theta )=(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa ),$

ce qui devient, en remplaçant l’angle $\varkappa '-\varkappa$ par son sinus

${\frac {p}{q}}(\theta '-\theta )=\operatorname {Sin} .(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa ),$

Il en résulte

$PQ'-P'Q={\frac {p}{q}}(\theta '-\theta )\operatorname {Cos} .\mu .$

On aura de même

$P'Q''-P''Q'={\frac {p}{q}}(\theta ''-\theta ')\operatorname {Cos} .\mu .$

$PQ''-P''Q={\frac {p}{q}}(\theta ''-\theta )\operatorname {Cos} .\mu .$

d’où l’on tire

La dernière peut être appliquée, sans erreur sensible, à tout angle moindre que 90°.

Ces approximations, qu’il serait facile de pousser plus loin, peuvent, dans certains cas, dispenser de l’usage des tables, et donner lieu à d’autres applications utiles. Elles donnent en particulier des approximations faciles du nombre $\psi ,$ et c’est même dans cette vue que Snellius s’était occupé de la formule ${\frac {\psi }{\operatorname {Sin} .\psi }}={\frac {3}{2+\operatorname {Cos} .\psi }}.$