130
ESSAI SUR LES PRINCIPES
![{\displaystyle (y-p)^{-m}=A(x-\theta )^{-m}+B(x-\theta )^{-m-1}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c77779140d0d60df892f326798317cad7b19b39e)
![{\displaystyle +G(x-\theta )^{-1}+H+K(x-\theta )+L(x-\theta )^{2}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10d4be93d2acdbed6b6c6a66aefee4fb198e38e1)
![{\displaystyle \operatorname {d} (y-p)^{-m}=A'(x-\theta )^{-m-1}+B'(x-\theta )^{-m}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74fc5f92d2973dcbf6a6b427924f18819d96c9c4)
![{\displaystyle +G'(x-\theta )^{-2}+0+K'+L'(x-\theta )\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adb1890cde1a8d15d54328775161203e9eb06a29)
(107)
de cette dernière on conclut que,
étant un nombre entier plus grand que 0, il manque, dans le développement de
suivant les puissances ascendantes de
le terme multiplié par
puis ultérieurement que,
étant aussi un nombre plus grand que 0, il manquera, dans le développement de
le terme multiplié par
D’ailleurs, il est évident (107) que, tantque
sera égal à
ou plus grand, ce développement ne renfermera point des puissances négatives de
Mais, d’après la formule (87),
étant positif,
est nul, quand
et
est de la forme
étant plus grand que zéro, quand
Donc, en prenant la différence
de l’expression
tous les termes où
a un exposant moindre que
seront détruits, tous les autres prendront la forme
puisque, le terme en
manquant, dans tous les autres, l’exposant de
est plus grand que
par conséquent, lorsqu’on fera
on aura toujours
![{\displaystyle \operatorname {d} ^{n}\left[(x-\theta )^{n+1}.\operatorname {d} (y-p)^{-m}\right]=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3859c6ea4ea849b4e368400f19048fd7e99c0258)
(108)
Il suit, en second lieu, de l’équation (106), que l’expression
est toujours de la forme
![{\displaystyle (x-\theta )^{n+1}.{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}=(x-\theta )^{n}+P(x-\theta )^{n+1}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bdbdc48e2d12f73de0baed60a74b694a042aca2)
mais (87)
donc, quand on fera
on aura toujours
![{\displaystyle d^{n}\left[(x-\theta )^{n+1}.{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}\right]=1.2.3.\ldots n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d98a6bfd04d08b424343f1f7de1769738395552b)
Je fais à présent l’application de ces deux observations importantes à la suite d’équations (104).