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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

${\frac {\operatorname {d} ^{n}fp}{\beta ^{n}}}={\frac {1}{\operatorname {d} \varphi \theta }}\operatorname {d} \left\{{\frac {1}{\operatorname {d} \varphi \theta }}\operatorname {d} \left\{{\frac {1}{\operatorname {d} \varphi \theta }}\operatorname {d} \left\{\ldots {\frac {1}{\operatorname {d} \varphi \theta }}\operatorname {d} \left\{{\frac {\operatorname {dF} \theta }{\operatorname {d} \varphi \theta }}\right\}\right\}\right\}\ldots \right\}.$(103)

Il y a, dans cette expression, un nombre $n-1$ de différentielles subordonnées. Elle est fort simple, mais on en découvre une autre qui se prête mieux aux développemens que la pratique exige, en employant un procédé qui n’est pas dépourvu d’élégance.

Je fais, pour abréger,

${\frac {\operatorname {d} fp}{\beta }}=A,\qquad {\frac {\operatorname {d} ^{2}fp}{\beta ^{2}}}=B,\ldots {\frac {\operatorname {d} ^{n}fp}{\beta ^{n}}}=N.$

Je multiplie successivement l’équation (99) par ${\frac {x-\theta }{y-p}},\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)^{2},\ldots \,;$ je fais d’ailleurs attention qu’en général

${\frac {\operatorname {d} y}{(y-p)^{m}}}=-{\frac {1}{m-1}}\operatorname {d} (y-p)^{-(m-1)}$

relation qui se vérifie aisément, d’après la formule (87) ; et j’ai

$\left.{\begin{array}{rl}\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)\operatorname {dF} x&=A(x-\theta ).{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}\\&+B(x-\theta ).\operatorname {d} y+{\frac {C}{1.2}}(x-\theta ).\operatorname {d} y+\ldots \\\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)^{2}\operatorname {dF} x&=-A(x-\theta ).\operatorname {d} (x-\theta )^{-1}\\&+B(x-\theta ).{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}+{\frac {C}{1.2}}(x-\theta )^{2}\operatorname {d} y+\ldots \\\left({\frac {x-\theta }{y-p}}\right)^{3}\operatorname {dF} x&=-{\frac {A}{2}}(x-\theta ).\operatorname {d} (y-p)^{-2}\\&-B(x-\theta ).(y-p)^{-1}+{\frac {C}{1.2}}(x-\theta )^{3}{\frac {\operatorname {d} y}{y-p}}+\ldots \\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{array}}\right\}$(104)

Or, d’après la formule (45), on a

$y-p=(x-\theta )\operatorname {d} \varphi \theta +{\frac {(x-\theta )^{2}}{1.2}}\operatorname {d} ^{2}\varphi \theta +\ldots \,;\qquad$(105)

puis, en différenciant par rapport à $x$

$\operatorname {d} y=\operatorname {d} \varphi \theta +(x-\theta )\operatorname {d} ^{2}\varphi \theta +\ldots \qquad$(106)

Il suit d’abord de (106) que $(y-p)^{-m}$ et $\operatorname {d} (y-p)^{-m}$ seront respectivement des formes