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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\operatorname {Cos} .^{2}\alpha x+\operatorname {Sin} .^{2}\alpha x=1,$

d’après (87), on trouve

$\operatorname {dCos} .\alpha x=-{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha x}{\operatorname {Cos} .\alpha x}}.\operatorname {dSin} .\alpha x\,;\qquad$(92)

et par conséquent

$\operatorname {d} \left(\operatorname {Cos} .\alpha x+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\alpha x\right)$

$=\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\alpha x.{\frac {\sqrt {-1}}{\operatorname {Cos} .\alpha x}}\left(\operatorname {Cos} .\alpha x+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Sin} .\alpha x\right)\,;\qquad$(93)

D’autre part, en se rappelant que $\operatorname {d} x=1,$ on a, par la formule (83)

$\operatorname {d} \left({\frac {1}{\operatorname {Cos} .\alpha x}}\right)^{x}=-\left({\frac {1}{\operatorname {Cos} .\alpha x}}\right)^{x}\operatorname {L} \operatorname {Cos} .\alpha \,;$

donc, en substituant cette expression et celle (93) dans (91), et comparant avec (90), on aura

$\operatorname {d} .\operatorname {Sin} .\alpha x.{\frac {\sqrt {-1}}{\operatorname {Cos} .\alpha x}}-\operatorname {L} \operatorname {Cos} .\alpha =\operatorname {L} \left(1+{\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right)\,;$

et de là en faisant

$A{\sqrt {-1}}=\operatorname {L} \left(\operatorname {Cos} .\alpha +{\sqrt {-1}}.\operatorname {Tang} .\alpha \right),$

on tire

$\operatorname {dSin} .\alpha x=A\operatorname {Cos} .\alpha x\,;\qquad$(94)

puis, en mettant cette expression dans (92),

$\operatorname {dCos} .\alpha x=-A\operatorname {Sin} .\alpha x.\qquad$(95)

Si on changeait ici $\alpha x$ en $x$, on aurait ces formules

$\operatorname {dSin} .x={\frac {A}{\alpha }}\operatorname {Cos} .x,\qquad \operatorname {dCos} .x=-{\frac {A}{\alpha }}\operatorname {Sin} .x.$

Ici la différente de $x$ est 1 ; si $x$ était fonction d’une autre variable, on aurait, en vertu du théorème (81)

$\operatorname {dSin} .x={\frac {A}{\alpha }}\operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x,\qquad \operatorname {dCos} .x=-{\frac {A}{\alpha }}\operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x.\qquad$(96)

Dans ces formules ; la quantité $\alpha$ est un arc arbitraire.