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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

ainsi que leurs differens ordres ; puisque ces fonctions ne sont que des différences et différentielles d’ordres négatifs (n.^o 1).

Ainsi, toutes les formules données dans l’article précédent sont immédiatement applicables à toutes ces fonctions. On en recueille sur-le-champ plusieurs expressions abrégées dont voici les plus remarquables.

Dans la formule (46), je mets $\zeta$ au lieu de $\operatorname {F} x\,;$ je compare avec l’équation (62), et j’ai

$\operatorname {E} ^{n}\zeta =\left(\operatorname {L} ^{-1}\operatorname {d} \right)^{n}\zeta \,;\qquad$(71)

et par conséquent aussi

${\frac {\operatorname {E} ^{n}}{x}}\zeta =\left(\operatorname {L} ^{-1}{\frac {\operatorname {d} }{x}}\right)^{n}\zeta \,;\qquad {\frac {\operatorname {E} ^{n}}{y}}\zeta =\left(\operatorname {L} ^{-1}{\frac {\operatorname {d} }{y}}\right)^{n}\zeta .\qquad$(72)

D’après les expressions précédentes et la définition $\Delta ^{n}\zeta =(\operatorname {E} -1)^{n}\zeta$ (69), on a sur-le-champ

$\Delta ^{n}\zeta =\left(\operatorname {L} ^{-1}\operatorname {d} -1\right)^{n}\zeta \,;\qquad {\frac {\Delta ^{n}}{x}}\zeta =\left(\operatorname {L} ^{-1}{\frac {\operatorname {d} }{x}}-1\right)^{n}\zeta \,;$

${\frac {\Delta ^{n}}{y}}\zeta =\left(\operatorname {L} ^{-1}{\frac {\operatorname {d} }{y}}-1\right)^{n}\zeta .\qquad$(73)

En comparant les définitions (69) de la différentielle avec la formule (55) on obtient

$\operatorname {d} ^{n}\zeta =\left[\operatorname {L} (1+\Delta )\right]^{n}\zeta =(\operatorname {LE} )^{n}\zeta \,;\ {\frac {\operatorname {d} ^{n}}{x}}\zeta =\left[\operatorname {L} \left(1+{\frac {\Delta }{x}}\right)\right]^{n}\zeta =\left(\operatorname {L} {\frac {\operatorname {E} }{x}}\right)^{n}\zeta \,;$

${\frac {\operatorname {d} ^{n}}{y}}\zeta =\left[\operatorname {L} \left(1+{\frac {\Delta }{y}}\right)\right]^{n}\zeta =\left(\operatorname {L} {\frac {\operatorname {E} }{y}}\right)^{n}\zeta .\qquad$74)

Si, dans la formule $\Delta ^{n}\zeta =(\operatorname {E} -1)^{n}\zeta ,$ on met, au lieu de $\operatorname {E} \zeta ,$ l’expression équivalente ${\frac {\operatorname {E} }{x}}\ {\frac {\operatorname {E} }{y}}\zeta ,$ qui elle-même (69) est équivalente à $\left(1+{\tfrac {\Delta }{x}}\right)\left(1+{\tfrac {\Delta }{y}}\right)\zeta ,$ on aura