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ESSAI SUR LES PRINCIPES

d’ailleurs., toujours, d’après, (58), on a cette autre expression

$(f)^{x}z=z+x\left(\operatorname {L} f\varphi \right)z+{\frac {x^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {L} f\varphi \right)^{2}z+\ldots \,;$

donc, en comparant terme à terme avec (60) ; nous aurons à cause de l’indéterminée $x$, la relation

$\operatorname {L} f\varphi z=\operatorname {L} fz+\operatorname {L} \varphi x.\qquad$(61)

Supposons

$\operatorname {L} \varphi z=\psi z\,:$

prenons, de part et d’autre, la fonction inverse $\operatorname {L} ^{-1},$ et nous aurons (1)

$\varphi z=\operatorname {L} ^{-1}\psi z\,;\qquad \varphi ^{x}z=\left(\operatorname {L} ^{-1}\psi \right)^{x}z\,;$

et par conséquent, d’après la formule (58),

$\left(\operatorname {L} ^{-1}\psi \right)^{x}z=z+{\frac {x}{1}}\psi z+{\frac {x^{2}}{1.2}}\psi ^{2}z+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}\psi ^{3}z+\ldots \qquad$(62)

Soient encore $f$ et $\varphi$ deux fonctions dîstributives et commutatives tant entre elles, qu’avec les facteurs constans ; $u$ et $x$ étant des exposans arbitraires, on a sur-le-champ (1)

$f^{u}\varphi ^{x}z=\operatorname {L} ^{-1}\operatorname {L} f^{u}\varphi ^{x}z\,;\qquad$(63)

mais (61), (59) on a aussi

$\operatorname {L} f^{u}\varphi ^{x}z=\operatorname {L} f^{u}z+\operatorname {L} \varphi ^{x}z=u\operatorname {L} fz+x\operatorname {L} \varphi z\,;$

donc (63) on aura, en employant la notation (n.^o 2)

$f^{u}\varphi ^{x}z=\operatorname {L} ^{-1}\left(u\operatorname {L} f+x\operatorname {L} \varphi \right)z\,;\qquad$(64)

et, d’après (62)

$f^{u}\varphi ^{x}z=z+\left(u\operatorname {L} f+x\operatorname {L} \varphi \right)z+{\frac {1}{1.2}}\left(u\operatorname {L} f+x\operatorname {L} \varphi \right)^{2}z$

$+{\frac {1}{1.2.3}}\left(u\operatorname {L} f+x\operatorname {L} \varphi \right)^{3}z+\ldots \qquad$(65)

Faisons quelques hypothèses particulières, sur la forme de la fonction $\varphi \,;$ et d’abord soit