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DU CALCUL DIFFÉRENTIEL.

$\operatorname {d} \operatorname {F} x=\varphi ^{x}\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }z.$

De celle-ci on conclut sur-le-champ

$\operatorname {d} ^{2}\operatorname {F} x=\varphi ^{x}\left(\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }\right)^{2}z,\ \operatorname {d} ^{3}\operatorname {F} x=\varphi ^{x}\left(\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }\right)^{3}z,\ldots \operatorname {d} ^{m}\operatorname {F} x=\varphi ^{x}\left(\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }\right)^{m}z,\,;$ (56)

par conséquent, en faisant $x=0$ dans $\operatorname {F} x,\operatorname {d} \operatorname {F} x,\ldots \operatorname {d} ^{m}\operatorname {F} x,$ on a, d’après la formule (48), cet autre développement de $\varphi ^{x}z$ :

$\varphi ^{x}z=z+{\frac {x}{\alpha }}\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }z+{\frac {x^{2}}{1.2.\alpha ^{2}}}\left(\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }\right)^{2}z+{\frac {x^{3}}{1.2.3.\alpha ^{3}}}\left(\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }\right)^{3}z+\ldots$ (57)

Tirons quelques conséquences importantes. Dans (57) l’accroissement $\alpha$ étant arbitraire, je le fais égal à l’unité, et j’ai

$\varphi ^{x}z=z+{\frac {x}{1}}\operatorname {L} \varphi z+{\frac {x^{2}}{1.2}}\left(\operatorname {L} \varphi \right)^{2}z+{\frac {x^{3}}{1.2.3}}\left(\operatorname {L} \varphi \right)^{3}z+\ldots \quad$(58)

Je compare cette expression, terme à terme, avec celle de l’équation (57) et, parce que $x$ est absolument indéterminé, j’obtiens la relation

$\alpha \operatorname {L} \varphi z=\operatorname {L} \varphi ^{\alpha }z.\qquad$(59)

Soit $f$ une fonction distributive et commutative avec $\varphi$ et les facteurs constats ; prenons de part et d’autre de l’équation (58) la fonction $f^{x},$ nous aurons, eu égard à la formule (18, n.^o 9),

$f^{x}\varphi ^{x}z=\left(f\varphi \right)^{x}z=f^{x}z+{\frac {x}{1}}f^{x}\operatorname {L} \varphi z+{\frac {x^{2}}{1.2}}f^{x}\left(\operatorname {L} \varphi \right)^{2}z+\ldots$

Développons chaque terme du second membre de celle-ci, par la même formule (58), et nous aurons visiblement

$\left.{\begin{array}{rlll}(f\varphi )^{x}z=z&+x\operatorname {L} fz&+{\frac {x^{2}}{1.2}}(\operatorname {L} f)^{2}z&+\ldots \\&+x\operatorname {L} \varphi z&+2{\frac {x^{2}}{1.2}}(\operatorname {L} f)(\operatorname {L} \varphi )z&+\ldots \\&&+{\frac {x^{2}}{1.2}}(\operatorname {L} \varphi )^{2}z&+\ldots \\&&&+\ldots \\\end{array}}\right\}\qquad$(60)