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ESSAI SUR LES PRINCIPES

${\frac {x-p}{\alpha }},\quad {\frac {(x-p)(x-p-\alpha )}{\alpha ^{2}}},\quad {\frac {(x-p)(x-p-\alpha )(x-p-2\alpha )}{\alpha ^{3}}},\ldots ,$

étant développés, sont tous de la forme

${\mathcal {A}}\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)+B\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)^{2}+C\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)^{3}+\ldots \,;$

de sorte qu’après ce développement, il s’agirait simplement d’ordonner par rapport aux puissances $\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right),\left({\frac {x-p}{\alpha }}\right)^{2},\ldots \,;$ et, sans calcul, on aperçoit déjà que le coefficient de la première puissance ${\frac {x-p}{\alpha }}$ serait la série

$\Delta \operatorname {F} p-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {F} p+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {F} p-\ldots \qquad$(37)

Il ne serait même pas difficile de les déterminer tous d’après cette seule considération ; mais il sera, plus court d’en faire la recherche par un procédé analogue à celui qui vient d’être employé (n.^o 14).

D’abord je prends la somme des produits respectifs des équations (31) par $+1,-{\tfrac {1}{2}},+{\tfrac {1}{3}},-{\tfrac {1}{4}}+\ldots ,$ ce qui donne, en réduisant et multipliant par $\alpha ,$

$\alpha {\mathcal {f}}y=\Delta \operatorname {F} (x+y)-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {F} (x+y)+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {F} (x+y)-\ldots$

$-y\left\{\Delta {\mathcal {f}}y-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}{\mathcal {f}}y+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}{\mathcal {f}}y-\ldots \right\}\qquad$(38)

Ici je fais

$\Delta \operatorname {F} (x+y)-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}\operatorname {F} (x+y)+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}\operatorname {F} (x+y)-\ldots =\operatorname {d} \operatorname {F} (x+y)\,;$

notation d’après laquelle on aura

$\Delta {\mathcal {f}}y-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}{\mathcal {f}}y+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}{\mathcal {f}}y-\ldots =\operatorname {d} {\mathcal {f}}y\,;$

et, en général

$\Delta z-{\tfrac {1}{2}}\Delta ^{2}z+{\tfrac {1}{3}}\Delta ^{3}z-\ldots =\operatorname {d} z.\qquad$(39)

C’est la définition complète d’une nouvelle fonction de $z,$ poly-