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ESSAI SUR LES PRINCIPES

$\left.{\begin{array}{lll}\operatorname {F} '\beta ={\frac {\operatorname {F} \beta -\operatorname {F} \alpha }{\varphi \beta }},&\operatorname {F} '\gamma ={\frac {\operatorname {F} \gamma -\operatorname {F} \alpha }{\varphi \gamma }},&\operatorname {F} '\delta ={\frac {\operatorname {F} \delta -\operatorname {F} \alpha }{\varphi \delta }},\ldots ,\\\operatorname {F} ''\gamma ={\frac {\operatorname {F} '\gamma -\operatorname {F} '\beta }{\varphi '\gamma }},&\operatorname {F} ''\delta ={\frac {\operatorname {F} '\delta -\operatorname {F} '\beta }{\varphi '\delta }},&\operatorname {F} ''\varepsilon ={\frac {\operatorname {F} '\varepsilon -\operatorname {F} '\beta }{\varphi '\varepsilon }}\ldots ,\\\operatorname {F} '''\delta ={\frac {\operatorname {F} ''\delta -\operatorname {F} ''\gamma }{\varphi ''\delta }},&\operatorname {F} '''\varepsilon ={\frac {\operatorname {F} ''\varepsilon -\operatorname {F} ''\gamma }{\varphi ''\varepsilon }},&\operatorname {F} '''\zeta ={\frac {\operatorname {F} ''\zeta -\operatorname {F} ''\gamma }{\varphi \zeta }},\ldots ,\\\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,&\ldots \ldots ,\ldots ,\\\end{array}}\right\}$ (26)

Or, de celles-ci (26) on tire facilement les coefficens $\operatorname {F} '\beta ,\ \operatorname {F} ''\gamma ,$ $\operatorname {F} '''\delta ,\ldots ,$ de l’équation (25), exprimés par les seules fonctions $\operatorname {F} ,\varphi ,\varphi ',\varphi '',\ldots$ des constantes $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots .$ On a, en effet,

$\left.{\begin{aligned}\operatorname {F} '\beta &={\frac {(\operatorname {F} \beta -\operatorname {F} \alpha )}{\varphi \beta }},\\\operatorname {F} ''\gamma &={\frac {(\operatorname {F} \gamma -\operatorname {F} \alpha )}{\varphi \gamma .\varphi '\gamma }}-{\frac {(\operatorname {F} \beta -\operatorname {F} \alpha }{\varphi \beta .\varphi '\gamma }},\\\operatorname {F} '''\delta &={\frac {(\operatorname {F} \delta -\operatorname {F} \alpha )}{\varphi \delta .\varphi '\delta .\varphi ''\delta }}-{\frac {(\operatorname {F} \gamma -\operatorname {F} \alpha )}{\varphi \gamma .\varphi '\gamma .\varphi ''\delta }}+{\frac {(\operatorname {F} \beta -\operatorname {F} \alpha )(\varphi '\delta -\varphi '\gamma )}{\varphi \beta .\varphi '\gamma .\varphi '\delta .\varphi ''\delta }},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}$ (27)

Voilà la série (25), de forme très-générale, établie analitiquement, par un procédé fort naturel et qui a l’apparence de la plus grande simplicité ; de sorte qu’il semble qu’il n’y ait plus qu’à descendre de là aux différens cas particuliers. Mais on a bientôt remarqué que ce procédé présente aussi de graves inconvéniens. Le premier est de conduire péniblement, même dans les cas les plus simples, à la loi qui règne entre les coefficiens $\operatorname {F} '\beta ,\ \operatorname {F} ''\gamma ,\ldots \,;$ le deuxième, et il est majeur, est de ne rien donner dans le cas peut-être le plus utile, celui de l’égalité, en tout ou en partie, entre les constantes $\alpha ,\beta ,\ldots \,;$ car, alors les coefficiens prennent, tous ou partie, la forme indéterminée ${\frac {0}{0}}.$ C’est ce qui a lieu, en particulier, quand toutes les fonctions $\varphi x,\ \varphi 'x,\ldots$ sont égales, et par conséquent lorsqu’il s’agit de développer $\operatorname {F} x$ suivant les puissances d’une autre fonction $\varphi x,$ ou bien encore, quand les fonctions $\varphi x,\ \varphi 'x,\ldots$ étant différentes les unes