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D’ASTRONOMIE.

pareil nombre d’inconnues. Pour le réduire ultérieurement aux deux seules inconnues $\beta$ et $\delta ,$ lesquelles déterminent la position du plan de l’orbite, il faudrait donc éliminer successivement les six autres inconnues, savoir : les trois anomalies excentriques $\varkappa ,\varkappa ',\varkappa ''\,;$ l’angle $\varepsilon \,;$ l’excentricité $\mu ,$ et le rapport ${\frac {p}{q}}$ ou ${\frac {a}{b}}\,;$ or, cette élimination est analitiquement impossible, tant que l’on conservera la forme transcendante des deux dernières équations, renfermant à la fois les anomalies excentriques $\varkappa ,\varkappa ',\varkappa ''$ et les sinus de ces mêmes anomalies. Reste donc à exprimer les unes par les autres. De pareilles expressions, au défaut d’être rigoureuses, pourront au moins être approchées ; et ces approximations seront applicables à notre problème, pour peu que les observations qu’on emploîra ne soient pas très-éloignées l’une de l’autre.

79. PREMIÈRE APPROXIMATION. L’angle est égal à son sinus. Cela donne $\psi =\operatorname {Sin} .\psi ,$ en désignant l’angle par $\psi .$ On a rigoureusement $\psi =\operatorname {Sin} .\psi +{\tfrac {1}{6}}\operatorname {Sin} .^{3}\psi +{\tfrac {1}{40}}\operatorname {Sin} .^{5}\psi +\ldots \,;$ l’erreur est donc égale à ${\tfrac {1}{6}}\operatorname {Sin} .^{3}\psi +{\tfrac {1}{40}}\operatorname {Sin} .^{5}\psi +\ldots .$ En prenant ici pour $\psi$ la différence de nos deux anomalies excentriques ou $\varkappa '-\varkappa ,$ l’équation

{\frac {p}{q}}(\theta '-\theta )=\varkappa '-\varkappa +\operatorname {Sin} .\mu (\operatorname {Sin} .\varkappa '-\operatorname {Sin} .\varkappa )

prendra la forme

{\frac {p}{q}}=2\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}(\varkappa '-\varkappa )\left\{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\varkappa '-\varkappa )+\operatorname {Sin} .\mu \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\varkappa '+\varkappa )\right\}\,;

et sera devenue entièrement algébrique. La supposition $\psi =\operatorname {Sin} .\psi$ ne peut être employée sans erreur sensible qu’autant que l’observation moyenne ne diffère des deux autres que de l’intervalle de quelques jours ; cependant, elle sert de base aux méthodes de du Séjour et d’Olbers, comme nous le verrons bientôt ; et, dans tous les cas, elle fournit une première approximation fort utile.