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ESSAI SUR LES PRINCIPES

Pour le démontrer généralement, considérons la fonction monôme

${\mathcal {f}}\ldots \operatorname {f} \varphi \psi \operatorname {F} \ldots z$

on pourra, sans en changer la valeur, permuter entre elles deux lettres fonctionnaires consécutives quelconques $\varphi ,\psi ,$ par exemple. Car, soit

$\operatorname {F} \ldots z=t,$

on aura

$\varphi \psi \operatorname {F} \ldots z=\varphi \psi t\,;$

or, par hypothèse,

$\varphi \psi t=\psi \varphi t\,;$

donc

$\varphi \psi \operatorname {F} \ldots z=\psi \varphi \operatorname {F} \ldots z\,;$

et, en prenant, de part et d’autre, la fonction composée,

${\mathcal {f}}\ldots \operatorname {f} \varphi \psi \operatorname {F} \ldots z={\mathcal {f}}\ldots \operatorname {f} \psi \varphi \operatorname {F} \ldots z.$

Il suit de là que chaque lettre fonctionnaire peut être amenée à quelle place on veut de la combinaison première, et partant qu’on peut faire subir aux lettres fonctionnaires toutes les permutations possibles, sans altérer la valeur de la fonction composée.

On conclut évidemment de ce théorème que si, avec les lettres fonctionnaires cornmutatives entre elles deux à deux $\operatorname {f} ,{\mathcal {f}},\varphi ,\ldots$ on forme, à volonté, de nouvelles fonctions, composées de deux, de trois,… lettres, telles que $\operatorname {f} {\mathcal {f}}z,\ \varphi \psi \operatorname {F} z,\ldots ,$ toutes celles-ci seront aussi commutatives entre elles et avec la première.

8. Si $\operatorname {f}$ et ${\mathcal {f}}$ sont commutatives entre elles, elles le seront avecr leurs inverses qui seront aussi commutatives entre elles, c’est-à-dire, que, si l’on a

$\operatorname {f} {\mathcal {f}}z={\mathcal {f}}\operatorname {f} z,\qquad$(15)

on aura aussi

$\operatorname {f} {\mathcal {f}}^{-1}z={\mathcal {f}}^{-1}\operatorname {f} z\,;\quad {\mathcal {f}}\operatorname {f} ^{-1}z=\operatorname {f} ^{-1}{\mathcal {f}}z\,;\quad \operatorname {f} ^{-1}{\mathcal {f}}^{-1}z={\mathcal {f}}^{-1}\operatorname {f} ^{-1}z\,;\quad (16)$

En effet, on a (1)