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ESSAI SUR LES PRINCIPES

Rien n’empêche qu’une, plusieurs ou toutes les fonctions monômes composantes ne soient des facteurs. Dans le dernier cas, après en avoir averti, on saura, sans équivoque (11), (12), que $\operatorname {F} z,\operatorname {F} '\operatorname {F} z,\ldots$ sont les produits de $z$ multiplié par le polynôme $\operatorname {f} +{\mathcal {f}}+\varphi +\ldots ,$ ou par le produit $(\operatorname {f} '+{\mathcal {f}}'+\varphi '+\ldots )(\operatorname {f} +{\mathcal {f}}+\varphi +\ldots ).$

3. Soit

$\varphi (x+y+\ldots )=\varphi x+\varphi y+\ldots \qquad$ (13)

Les fonctions qui, comme $\varphi ,$ sont telles que la fonction de somme (algébrique) d’un nombre quelconque de quantités est à la somme des fonctions pareilles de chacune de ces quantités seront appelées distributives.

Ainsi, parce que

$a(x+y+\ldots )=ax+ay+\ldots \,;\qquad \operatorname {E} (x+y+\ldots )=\operatorname {E} x+\operatorname {E} y+\ldots \,;\ldots$

le facteur $a,$ l’état varié $\operatorname {E} ,\ldots$ sont des fonctions distributives ; mais, comme on n’a pas

$\operatorname {Sin} .(x+y+\ldots )=\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Sin} .y+\ldots \,;$

$\ \operatorname {L} (x+y+\ldots )=\operatorname {L} x+\operatorname {L} y+\ldots \,;\ldots$

les sinus, les logarithmes naturels,… ne sont point des fonctions distributives.

4. Soit

$\operatorname {f} {\mathcal {f}}z={\mathcal {f}}\operatorname {f} z.\qquad$(14)

Les fonctions qui, comme $\operatorname {f}$ et ${\mathcal {f}},$ sont telles qu’elles donnent des résultats identiques, quel que soit l’ordre dans lequel on les applique au sujet, seront appelées commutatives entre elles.

Ainsi ; parce qu’on a

$abz=baz\,;\qquad a\operatorname {E} z=\operatorname {E} az\,;\ldots$

les facteurs constans, $a,b,$ le facteur constant $a$ et l’état varié $\operatorname {E}$ sont des fonctions commutatives entre elles ; mais comme, $a$ étant toujours constant et $x$ variable, on n’a pas

$\operatorname {Sin} .az=a\operatorname {Sin} .z\,;\qquad \operatorname {E} xz=x\operatorname {E} z\,;\qquad \Delta xz=x\Delta z\,;\ldots \,;$