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HEXAGONES

Et, pour le cas de $m$ nombre positif et impair,

(6)$\quad \int z^{n}\operatorname {d} z\operatorname {Sin} .^{m}z=\mp {\tfrac {1}{2^{m-1}}}\left\{{\tfrac {1}{m^{n+1}}}\int (mz)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .(mz)\right.$

$-{\tfrac {m}{(m-2)^{n+1}}}\int \left[(m-2)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .\left[(m-2)z\right]+$

${\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}.{\tfrac {1}{(m-4)^{n+1}}}\int \left[(m-4)z\right]^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .\left[(m-4)z\right]-\ldots$

$\mp {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+5}{{\tfrac {1}{2}}m-3}}.{\tfrac {1}{3^{n+1}}}\int (3z)^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .(3z)$

$\left.\pm {\tfrac {m}{1}}.{\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {{\tfrac {1}{2}}m+3}{{\tfrac {1}{2}}m-1}}\int z^{n}\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .z\right\}\,;$

les signes supérieurs devant être pris lorsque $-1$ est un nombre doublement pair, et les signes inférieurs dans le cas contraire.

Or, les valeurs des termes du second membre de l’équation (5) affectés du signe d’intégration, sont données, sous forme finie, par l’équation (1) ; et celles des termes du second membre de l’équation (6) sont également données, sous forme finie, par l’équation (2) ; donc, quelles que soient les valeurs entières et positives de $m$ et $n,$ on a exactement, et sous forme finie, l’intégrale demandée de $z^{n}\operatorname {d} z.\operatorname {Sin} .^{m}z.$

GÉOMÉTRIE DE LA RÈGLE.

Application de la doctrine des projections à la démonstration
des propriétés des hexagones inscrits et
circonscrits aux sections coniques ;

Par M. Gergonne.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

On connaît déjà diverses démonstrations des théorèmes relatifs aux hexagones inscrits et circonscrits aux sections coniques^[1]. En

1. Voyez, entr’autres, la note de la page 335 du premier volume de ce recueil.